Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Mặt phẳng đi qua A và vuông góc với A’C chia hình
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Mặt phẳng đi qua A và vuông góc với A’C chia hình lập phương trình hai phần thể tích. Tính tỉ số k hai phần thể tích này, biết \(k < 1\).
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
- Chứng minh mặt phẳng đi qua A và vuông góc với A’C chính là (AB’D’).
- Xác định (AB’D’) chia khối chóp thành những phần nào và tính thể tích của chúng.
Gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với A’C.
Gọi \(O' = A'C' \cap B'D'\) và \(I = AO' \cap A'C\).
Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương cạnh a nên \(AC = A'C' = a\sqrt 2 ;\,\,A'C = a\sqrt 3 \).
Áp dụng định lí Pytago ta có: \(AO' = \sqrt {AA{'^2} + A'O{'^2}} = \sqrt {{a^2} + \dfrac{{{a^2}}}{2}} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}\).
Áp dụng định lí Ta-lét ta có:
\(\begin{array}{l}\dfrac{{AI}}{{IO'}} = \dfrac{{AC}}{{A'O'}} = 2 \Rightarrow AI = 2IO' = \dfrac{2}{3}AO' = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\\\dfrac{{A'I}}{{IC}} = \dfrac{{A'O'}}{{AC}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow A'I = \dfrac{1}{2}IC = \dfrac{1}{3}A'C = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\end{array}\)
Xét tam giác AA’I có: \(A{I^2} + A'{I^2} = \dfrac{{2{a^2}}}{3} + \dfrac{{{a^2}}}{3} = {a^2} = AA{'^2}\), suy ra tam giác AA’I vuông tại I (Định lí Pytago đảo) \( \Rightarrow AO' \subset \left( \alpha \right) \Rightarrow O' \in \left( \alpha \right)\).
Lại có \(\left\{ \begin{array}{l}B'D' \bot A'C'\\B'D' \bot AA'\end{array} \right. \Rightarrow B'D' \bot \left( {ACC'A'} \right) \Rightarrow B'D' \bot A'C\) \( \Rightarrow B'D' \subset \left( \alpha \right)\).
\( \Rightarrow \left( \alpha \right) \equiv \left( {AB'D'} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( {AB'D'} \right)\) chia khối lập phương thành 2 phần: Chóp A.A’B’D’ và khối đa diện B’C’D’.ABCD.
Ta có: \({V_{A.A'B'D'}} = \dfrac{1}{3}AA'.{S_{A'B'D'}} = \dfrac{1}{3}AA'.\dfrac{1}{2}{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{6}{V_{ABCD.A'B'C'D'}}\)
\( \Rightarrow {V_{B'C'D'.ABCD}} = {V_{ABCD.A'B'C'D'}} - \dfrac{1}{6}{V_{ABCD.A'B'C'D'}} = \dfrac{5}{6}{V_{ABCD.A'B'C'D'}}\).
Vậy \(k = \dfrac{{{V_{A.A'B'D'}}}}{{{V_{B'C'D'.ABCD}}}} = \dfrac{{\dfrac{1}{6}{V_{ABCD.A'B'C'D'}}}}{{\dfrac{5}{6}{V_{ABCD.A'B'C'D'}}}} = \dfrac{1}{5}\).
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
