Cho tứ diện ABCD có AC = AD = BC = BD = a. Các cặp mặt phẳng (ACD) và (BCD), (ABC) và (ABD) vuông góc

A. \(\dfrac{{2a}}{{\sqrt 3 }}\)

B. \(\dfrac{a}{{\sqrt 3 }}\)

C. \(\dfrac{a}{2}\)

D. \(a\sqrt 3 \)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:460175

Phương pháp giải

- Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD. Chứng minh tam giác ABN, CDM là các tam giác vuông cân.

- Tính BN, CN theo MN.

- Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông BCN, từ đó tính MN theo a và suy ra CD theo a.

Giải chi tiết

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD.

Vì tam giác ACD, BCD là các tam giác cân lần lượt tại A và B nên \(\left\{ \begin{array}{l}AN \bot CD\\BN \bot CD\end{array} \right.\).

Lại có \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {ACD} \right) \bot \left( {BCD} \right) = CD\\AN \subset \left( {ACD} \right),\,\,AN \bot CD\\BN \subset \left( {BCD} \right),\,\,BN \bot CD\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \angle \left( {\left( {ACD} \right);\left( {BCD} \right)} \right) = \angle \left( {AN;BN} \right) = \angle ANB = {90^0}\).

Dễ thấy \(\Delta ACD = \Delta BCD\,\,\left( {c.c.c} \right) \Rightarrow AN = BN\) \( \Rightarrow \Delta ABN\) vuông cân tại N \( \Rightarrow MN = \dfrac{1}{2}AB\).

Chứng minh tương tự ta có \(\Delta MCD\) vuông cân tại M nên \(MN = \dfrac{1}{2}CD\).

\( \Rightarrow AB = CD\).

Ta có: \(BN = \sqrt 2 MN,\,\,CN = \dfrac{1}{2}CD = MN\).

Xét tam giác vuông BCN có: \(B{N^2} + C{N^2} = B{C^2}\)

\( \Rightarrow 2M{N^2} + M{N^2} = {a^2} \Rightarrow MN = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

Vậy \(CD = 2MN = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.