Biết tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để phương trình \({\left( {2 + \sqrt 3

Câu hỏi số 460876:

Vận dụng

Biết tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để phương trình \({\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^x} + m{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^x} = 1\) có hai nghiệm phân biệt là khoảng \(\left( {a;b} \right)\). Tính \(T = 3a + 8b\).

A. \(T = 5\)

B. \(T = 7\)

C. \(T = 2\)

D. \(T = 1\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:460876

Phương pháp giải

- Nhân xét: \({\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^x}{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^x} = 1\).

- Đặt ẩn phụ \(t = {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^x}\,\,\left( {t > 0} \right)\), đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai ẩn \(t\).

- Để phương trình ban đầu có 2 nghiệm phân biệt thì phương trình bậc hai ẩn \(t\) phải có 2 nghiệm dương phân biệt \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\S > 0\\P > 0\end{array} \right.\).

Giải chi tiết

Vì \({\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^x}{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^x} = 1\) nên đặt \(t = {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^x}\,\,\left( {t > 0} \right) \Rightarrow {\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^x} = \dfrac{1}{t}\), khi đó phương trình trở thành:

\(t + \dfrac{m}{t} = 1 \Leftrightarrow {t^2} - t + m = 0\,\,\,\left( * \right)\)

Để phương trình ban đầu có 2 nghiệm phân biệt thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm dương phân biệt \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\S > 0\\P > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - 4m > 0\\1 > 0\\m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 < m < \dfrac{1}{4}\).

\( \Rightarrow m \in \left( {0;\dfrac{1}{4}} \right) \Rightarrow a = 0,\,\,b = \dfrac{1}{4}\).

Vậy \(T = 3a + 8b = 3.0 + 8.\dfrac{1}{4} = 2\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.