Cho lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B'C'\) có cạnh đáy bằng \(a\). Trên các tia \(AA',\,\,BB',\,\,CC'\)
Cho lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B'C'\) có cạnh đáy bằng \(a\). Trên các tia \(AA',\,\,BB',\,\,CC'\) lần lượt lấy \({A_1},\,\,{B_1},\,\,{C_1}\) cách mặt phẳng đáy \(\left( {ABC} \right)\) một khoảng lần lượt là \(\dfrac{a}{2},\,\,a,\,\,\dfrac{{3a}}{2}\). Tính góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {{A_1}{B_1}{C_1}} \right)\).
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
Sử dụng công thức: Gọi \(\left( {H'} \right)\) là hình chiếu của \(\left( H \right)\) lên mặt phẳng \(\left( P \right)\). Gọi \(\alpha \) là góc giữa mặt phẳng \(\left( P \right)\) và mặt phẳng chứa hình \(\left( H \right)\). Khi đó ta có: \({S_{\left( {H'} \right)}} = {S_{\left( H \right)}}\cos \alpha \).
Ta có \(ABC\) là hình chiếu vuông góc của \({A_1}{B_1}{C_1}\) lên \(\left( {ABC} \right)\) nên \(\cos \alpha = \cos \angle \left( {\left( {ABC} \right);\left( {{A_1}{B_1}{C_1}} \right)} \right) = \dfrac{{{S_{\Delta ABC}}}}{{{S_{\Delta {A_1}{B_1}{C_1}}}}}\).
Tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a\) nên \({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\).
Gọi M, N, P là các điểm lần lượt thuộc AA’, CC’, AA’ thỏa mãn \({B_1}M//AB,\,\,{B_1}N//BC,\,\,{C_1}P//AC\).
Ta có: \({A_1}M = B{B_1} - A{A_1} = \dfrac{a}{2}\), \({C_1}N = C{C_1} - B{B_1} = \dfrac{a}{2} = PM\), \(P{A_1} = PM + {A_1}M = a\).
Áp dụng định lí Pytago ta có:
\(\begin{array}{l}{A_1}{B_1} = \sqrt {{B_1}{M^2} + {A_1}{M^2}} = \sqrt {{a^2} + {{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^2}} = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}\\{B_1}{C_1} = \sqrt {{B_1}{N^2} + {C_1}{N^2}} = \sqrt {{a^2} + {{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^2}} = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}\\{A_1}{C_1} = \sqrt {{C_1}{P^2} + {A_1}{P^2}} = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 \end{array}\)
Gọi \(p\) là nửa chu vi tam giác \({A_1}{B_1}{C_1}\) ta có \(p = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 5 }}{2} + \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2} + a\sqrt 2 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 5 + a\sqrt 2 }}{2}\).
Khi đó ta có \({S_{{A_1}{B_1}{C_1}}} = \sqrt {p\left( {p - {A_1}{B_1}} \right)\left( {p - {B_1}{C_1}} \right)\left( {p - {C_1}{A_1}} \right)} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 6 }}{4}\).
Vậy \(\cos \alpha = \cos \angle \left( {\left( {ABC} \right);\left( {{A_1}{B_1}{C_1}} \right)} \right) = \dfrac{{{S_{\Delta ABC}}}}{{{S_{\Delta {A_1}{B_1}{C_1}}}}} = \dfrac{{\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}}}{{\dfrac{{{a^2}\sqrt 6 }}{4}}} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \alpha = {45^0}\).
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
