Một mặt cầu tâm \(O\) nằm trên mặt phẳng đáy của hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) có tất

Câu hỏi số 460902:

Vận dụng cao

Một mặt cầu tâm \(O\) nằm trên mặt phẳng đáy của hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) có tất cả các cạnh bằng nhau, các đỉnh \(A,\,\,B,\,\,C\) thuộc mặt cầu. Biết bán kính mặt cầu là 1. Tính tổng độ dài \(\) các giao tuyến của mặt cầu với các mặt bên của hình chóp thỏa mãn?

A. \(l \in \left( {1;\sqrt 2 } \right)\)

B. \(l \in \left( {2;3\sqrt 2 } \right)\)

C. \(l \in \left( {\sqrt 3 ;2} \right)\)

D. \(l \in \left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{2};1} \right)\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:460902

Giải chi tiết

Ta có \(SO \bot \left( {ABC} \right)\). Gọi \(D\) là trung điểm của \(AB\).

Kẻ \(OI \bot SD\), ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}AB \bot CD\\AB \bot SO\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SCD} \right) \Rightarrow AB \bot OI\\\left\{ \begin{array}{l}OI \bot AB\\OI \bot SD\end{array} \right. \Rightarrow OI \bot \left( {SAB} \right)\end{array}\)

Suy ra \(I\) là tâm đường tròn \(\left( C \right)\) giao tuyến của mặt cầu tâm \(O\) với mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\).

Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là giao điểm của \(\left( C \right)\) với \(SB,\,\,SA\) và \(K\) là trung điểm của \(MB\).

Đặt \(AB = a\). Theo bài ra ta có \(OC = 1 \Rightarrow \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3} = 1 \Leftrightarrow a = \sqrt 3 \).

Ta có: \(SC = CD = \dfrac{3}{2};\,\,OD = \dfrac{1}{2}\).

Áp dụng định lí Pytago ta có: \(SO = \sqrt {S{C^2} - O{C^2}} = \sqrt 2 \).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(SOD\) ta có: \(OI = \dfrac{{SO.OD}}{{SD}} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{3}\); \(ID = \dfrac{{O{D^2}}}{{SD}} = \dfrac{1}{3}\); \(SI = \dfrac{4}{3}\).

Gọi \(r\) là bán kính đường tròn \(\left( C \right)\), ta có \(r = \sqrt {1 - O{I^2}} = \dfrac{{\sqrt 7 }}{3}\).

Xét tam giác vuông\(SIK\) ta có: \(IK = SI.\sin {30^0} = \dfrac{1}{2}SI = \dfrac{2}{3}\).

Xét tam giác \(MIK\) có: \(\cos \angle MIK = \dfrac{{IK}}{{IM}} = \dfrac{2}{{\sqrt 7 }} \Rightarrow \angle MIK \approx {28^0} \Rightarrow \angle MIN \approx {64^0}\).

Khi đó chiều dài cung \(MN\) là: \({l_{MN}} = \dfrac{{64}}{{100}}.\dfrac{{\sqrt 7 }}{3} = \dfrac{{16\sqrt 7 }}{{135}}\).

Vậy tổng chiều dài các giao tuyến của mặt cầu với các mặt bên của hình chóp là \(l = \dfrac{{16\sqrt 7 }}{{135}}.3 \approx 0,94 \in \left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{2};1} \right)\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.