Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho \(M(1;2;1)\). Viết phương trình mặt

Câu hỏi số 463446:

Vận dụng cao

Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho \(M(1;2;1)\). Viết phương trình mặt phẳng \((P)\) qua \(M\) cắt các trục \(Ox,Oy,Oz\) lần lượt tại \(A,B,C\) sao cho \(\dfrac{1}{{O{A^2}}} + \dfrac{1}{{O{B^2}}} + \dfrac{1}{{O{C^2}}}\) đạt giá trị nhỏ nhất.

A. \((P):x + 2y + 3z - 8 = 0\).

B. \((P):\dfrac{x}{1} + \dfrac{y}{2} + \dfrac{z}{1} = 1\).

C. \((P):x + y + z - 4 = 0\).

D. \((P):x + 2y + z - 6 = 0\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:463446

Giải chi tiết

Gọi \(H\) là chân đường cao kẻ từ đỉnh O trong tam giác \(OAB\)
Ta có \(\dfrac{1}{O A^2}+\dfrac{1}{O B^2}=\dfrac{1}{O H^2}\)
Gọi N là chân đường cao kẻ từ đỉnh O trong tam giác \(COH\)
Khi đó \(\dfrac{1}{O A^2}+\dfrac{1}{O B^2}+\dfrac{1}{O C^2}=\dfrac{1}{O H^2}+\dfrac{1}{O C^2}=\dfrac{1}{O N^2}\)
Để \(\dfrac{1}{O A^2}+\dfrac{1}{O B^2}+\dfrac{1}{O C^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất thì \(\dfrac{1}{O N^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất, hay độ dài ON phải lớn nhất.
Mà ta có N là chân đường cao kẻ từ đỉnh O trong tam giác COH nên \(O N \perp(A B C)\)
Do đó \(O N \leq O M\). ON lớn nhất khi N trùng với M.
Suy ra vectơ pháp tuyến của mọ̆t phẳng (ABC) là \(\overrightarrow{O M}=(1 ; 2 ; 1)\).
Vậy phương trình \((P)\) là: \((x-1)+2(y-2)+(z-1)=0\) hay \((P): x+2 y+z-6=0\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.