Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(M\left( {1;3; - 1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x - 2y

Câu hỏi số 463642:

Vận dụng

Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(M\left( {1;3; - 1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x - 2y + 2z = 1\). Gọi \(N\) là hình chiếu vuông góc của \(M\) trên \(\left( P \right)\). Viết phương trình trung trực của đoạn thẳng \(MN\).

A. \(x - 2y + 2z + 3 = 0\)

B. \(x - 2y + 2z + 1 = 0\)

C. \(x - 2y + 2z - 3 = 0\)

D. \(x - 2y + 2z + 2 = 0\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:463642

Phương pháp giải

- Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(M\left( {1;3; - 1} \right)\) và vuông góc với \(\left( P \right)\).

- Tìm tọa độ điểm \(N = \Delta \cap \left( P \right)\).

- Tìm tọa độ điểm \(I\) là trung điểm của \(MN\).

- Viết phương trình mặt phẳng trung trực của \(MN\) đi qua \(I\) và song song với \(\left( P \right)\).

Giải chi tiết

Mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x - 2y + 2z = 1\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow n \left( {1; - 2;2} \right)\).

Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua \(M\left( {1;3; - 1} \right)\) và vuông góc với \(\left( P \right)\) \( \Rightarrow \overrightarrow {{u_\Delta }} = \overrightarrow n = \left( {1; - 2;2} \right)\), khi đó phương trình đường thẳng \(\Delta :\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 3 - 2t\\z = - 1 + 2t\end{array} \right.\).

Vì \(N\) là hình chiếu vuông góc của \(M\) trên \(\left( P \right)\) nên \(N = \Delta \cap \left( P \right)\).

Vì \(N \in \Delta \Rightarrow N\left( {1 + t;3 - 2t; - 1 + 2t} \right)\).

Vì \(N \in \left( P \right) \Rightarrow 1 + t - 2\left( {3 - 2t} \right) + 2\left( { - 1 + 2t} \right) = 1\) \( \Leftrightarrow 9t - 8 = 0 \Leftrightarrow t = \dfrac{8}{9}\).

\( \Rightarrow N\left( {\dfrac{{17}}{9};\dfrac{{11}}{9};\dfrac{{ - 1}}{9}} \right)\).

Gọi \(I\) là trung điểm của \(MN\) ta có \(I\left( {\dfrac{{13}}{9};\dfrac{{19}}{9};\dfrac{{ - 1}}{9}} \right)\).

Do mặt phẳng trung trực của \(MN\) vuông góc với \(MN\) nên song song với \(\left( P \right)\), do đó mặt phẳng trung trực của \(MN\) cũng nhận \(\overrightarrow n \left( {1; - 2;2} \right)\) là 1 VTPT.

Vậy phương trình mặt phẳng trung trực của \(MN\) là: \(1\left( {x - \dfrac{{13}}{9}} \right) - 2\left( {y - \dfrac{{19}}{9}} \right) + 2\left( {z + \dfrac{1}{9}} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow x - 2y + 2z + 3 = 0\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.