Cho hình chóp SABC, đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh C ( = 900). Cạnh bên SA của hình chóp vuông góc với mặt phẳng đáy và SC = a. Gọi góc giữa mặt phẳng (SBC) và (ABC) là α . Tìm α để thể tích hình chóp có giá trị lớn nhất.

Câu hỏi số 4641:

Cho hình chóp SABC, đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh C ( $\widehat{ACB}$ = 90⁰). Cạnh bên SA của hình chóp vuông góc với mặt phẳng đáy và SC = a. Gọi góc giữa mặt phẳng (SBC) và (ABC) là α . Tìm α để thể tích hình chóp có giá trị lớn nhất.

A. α ∈ (0 ; $\frac{\pi}{2}$ )

B. α ∈ (0 ; $\frac{\pi }{6}$ )

C. α ∈ (0 ; $\frac{\pi }{4}$ )

D. α ∈ (0 ; $\frac{\pi }{3}$ )

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:4641

Giải chi tiết

Ta có V_SABC = $\frac{1}{3}$ S_∆ABC.SA.

Xác định góc giữa mặt phẳng (SBC) và ( ABC):

Ta có: BC ⊥ AC => BC⊥SC (theo định lí 3 đường vuông góc)

=>BC⊥(SAC) mà BC = (SBC) ∩ (ABC) => $\widehat{SCA}$ = ( $\widehat{(SBC);(ABC)}$ )

( góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và ( SBC))

Đặt = α; ∆SAC => SA = SC.sinα = asinα; AC = SC.cosα = a.cosα

V_SABC = $\frac{1}{3}$ . $\frac{1}{2}$ CA.CB.SA = $\frac{1}{6}$ .acosα.acosα.asinα = $\frac{1}{6}$ a³.sinα.cos²α.

Để tìm giá trị lớn nhất của V ta xét hàm số: f(α) = sinα.cos²α; α ∈ ( 0; $\frac{\pi}{2}$ )

f’(α) = cos³α – 2cosαsin²α

= cosα( cos²α – 2 + 2cos²α ); α ∈ ( 0; $\frac{\pi}{2}$ )

= cosα(3cos²α - 2)

= 3cosα ( cosα - $\sqrt{\frac{2}{3}}$ )( cosα + $\sqrt{\frac{2}{3}}$ ); α ∈ ( 0; $\frac{\pi}{2}$ )

f’(α) = 0 ⇔ cosα = 0; cosα = $\sqrt{\frac{2}{3}}$ ;cosα = - $\sqrt{\frac{2}{3}}$ ;cosα = - $\sqrt{\frac{2}{3}}$ => α $\notin$ (0; $\frac{\pi}{2}$ ) nên loại.

$\lim_{\alpha\rightarrow 0}$ f(α) = 0 ; $\lim_{\alpha\rightarrow \frac{\pi}{2}}$ f(α) = 0; f(arccos $\sqrt{\frac{2}{3}}$ ) = $\frac{2}{3}$ . $\sqrt{\frac{1}{3}}$

và hàm số là hàm số liên tục trên ( 0 ; $\frac{\pi}{2}$ ) nên $\begin{matrix}GTLN\\\alpha\in(0;\frac{\pi}{2})\end{matrix}$ = $\frac{2}{3}$ $\sqrt{\frac{1}{3}}$

Kết luận : V_SABC = $\frac{1}{6}$ a³ $\frac{2}{3}$ $\sqrt{\frac{1}{3}}$ đạt GTLN khi α ∈ (0 ; $\frac{\pi}{2}$ ) và cosα = $\sqrt{\frac{2}{3}}$

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.