Tính \(S = \frac{2}{3} + \frac{8}{9} + \frac{{26}}{{27}} + ... + \frac{{590498}}{{59049}}\)

Câu hỏi số 465331:

Vận dụng cao

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:465331

Phương pháp giải

Ta khai triển biểu thức S để làm xuất hiện một tổng của dãy số có quy luật. Trong đó, các phân số có mẫu số sau gấp mẫu số trước 3 lần, khi đó ta nhân thêm 3 để rồi trừ hai vế nhằm triệt tiêu các phân số ở giữa. Làm tương tự các bài toán trên để tìm ra kết quả.

Giải chi tiết

\(S = \frac{2}{3} + \frac{8}{9} + \frac{{26}}{{27}} + ... + \frac{{59048}}{{59049}}\)

\(S = \frac{{3 - 1}}{3} + \frac{{9 - 1}}{9} + \frac{{27 - 1}}{{27}} + ... + \frac{{59049 - 1}}{{59049}}\)

\(S = (1 + 1 + 1 + ... + 1) - \left( {\frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{{27}} + ... + \frac{1}{{59049}}} \right)\)

Giả sử \(S = 10 - {S_1}\)

Xét \({S_1} = \left( {\frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{{27}} + \frac{1}{{81}} + ... + \frac{1}{{59049}}} \right)\)

\(3 \times {S_1} = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{{27}} + \frac{1}{{81}} + ... + \frac{1}{{19683}}\)

\(3 \times {S_1} - {S_1} = 1 - \frac{1}{{59049}}\)

\({S_1} = \frac{{29524}}{{59049}}\)

Suy ra \(S = 10 - {S_1} = 10 - \frac{{29524}}{{59049}} = \frac{{560966}}{{59049}}\)

Đáp số: \(S = \frac{{560966}}{{59049}}.\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K14 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến các môn Toán, Tiếng Việt, Tiếng Anh lớp 5 trên Tuyensinh247.com. Cam kết giúp con lớp 5 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link