Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) thỏa mãn \(f\left( x \right) > 0,\,\,\forall x \in \left( {1;4} \right)\)

Câu hỏi số 468652:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) thỏa mãn \(f\left( x \right) > 0,\,\,\forall x \in \left( {1;4} \right)\) và \(f'\left( 4 \right) = 0\). Hàm số \(f'\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) thuộc đoạn \(\left[ { - 2019;2019} \right]\) để hàm số \(y = {e^{ - {x^2} + mx + 1}}f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {1;4} \right)\).

A. \(2012\)

B. \(2007\)

C. \(2008\)

D. \(2010\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:468652

Giải chi tiết

Đặt \(y = g\left( x \right) = {e^{ - {x^2} + mx + 1}}f\left( x \right)\) ta có

\(\begin{array}{l}g'\left( x \right) = \left[ {{e^{ - {x^2} + mx + 1}}f\left( x \right)} \right]'\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( { - 2x + m} \right){e^{ - {x^2} + mx + 1}}f\left( x \right) + {e^{ - {x^2} + mx + 1}}f'\left( x \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {e^{ - {x^2} + mx + 1}}\left[ {\left( { - 2x + m} \right)f\left( x \right) + f'\left( x \right)} \right]\end{array}\)

Để hàm số \(g\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( {1;4} \right)\) thì \(g'\left( x \right) \ge 0\,\,\forall x \in \left( {1;4} \right)\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( { - 2x + m} \right)f\left( x \right) + f'\left( x \right) \ge 0\,\,\forall x \in \left( {1;4} \right)\\ \Leftrightarrow m - 2x \ge \dfrac{{ - f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}}\,\,\forall x \in \left( {1;4} \right)\,\,\left( {do\,\,f\left( x \right) > 0\,\,\forall x \in \left( {1;4} \right)} \right)\\ \Leftrightarrow m \ge \dfrac{{ - f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}} + 2x\,\,\forall x \in \left( {1;4} \right)\\ \Leftrightarrow m \ge \mathop {\max }\limits_{\left[ {1;4} \right]} \left( {\dfrac{{ - f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}} + 2x} \right)\end{array}\)

Với \(x \in \left[ {1;4} \right]\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) > 0\\ - f'\left( x \right) \in \left[ { - 4;0} \right]\end{array} \right. \Rightarrow \dfrac{{ - f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}} \le 0\), \(2x \le 8\,\,\forall x \in \left[ {1;4} \right]\)

\( \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {1;4} \right]} \left( {\dfrac{{ - f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}} + 2x} \right) = 0 + 8 = 8\) \( \Rightarrow m \ge 8\).

Kết hợp điều kiện đề bài \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}8 \le m \le 2019\\m \in \mathbb{Z}\end{array} \right. \Rightarrow m \in \left\{ {8;9;10;2019} \right\}\).

Vậy có 2012 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.