Cho các số thực \(x,\,\,y\) thỏa mãn \({e^{{x^5} + \frac{5}{{2{x^2}}} - \frac{7}{2}}} = \log \left[ {11\sqrt {y

Câu hỏi số 468651:

Vận dụng cao

Cho các số thực \(x,\,\,y\) thỏa mãn \({e^{{x^5} + \frac{5}{{2{x^2}}} - \frac{7}{2}}} = \log \left[ {11\sqrt {y + 1} - y\sqrt {y + 1} - 6} \right]\) với \(x > 0\) và \(y \ge 0\). Giá trị của biểu thức \(P = {x^2} - {y^2} - xy + 2021\) bằng:

A. \(2014\)

B. \(2019\)

C. \(2010\)

D. \(2008\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:468651

Phương pháp giải

- Đặt , \(f\left( x \right) = {e^{{x^5} + \frac{5}{{2{x^2}}} - \frac{7}{2}}}\) với \(x \ge 0\) và \(g\left( y \right) = \log \left[ {11\sqrt {y + 1} - y\sqrt {y + 1} - 6} \right]\) với \(y \ge 0\).

- Lập BBT hai hàm số trên, chứng minh \(f\left( x \right) \ge 1 \ge g\left( y \right)\,\,\,\forall x,y \ge 0\).

- Tìm điều kiện để dấu “=” xảy ra, từ đó suy ra \(x,\,\,y\).

Giải chi tiết

Xét hàm số \(f\left( x \right) = {e^{{x^5} + \frac{5}{{2{x^2}}} - \frac{7}{2}}}\) với \(x \ge 0\) ta có \(f'\left( x \right) = \left( {5{x^4} - \dfrac{5}{{{x^3}}}} \right){e^{{x^5} + \frac{5}{{2{x^2}}} - \frac{7}{2}}} = 0 \Leftrightarrow x = 1\).

BBT:

Dựa vào BBT \( \Rightarrow f\left( x \right) \ge 1\,\,\forall x \ge 0\) (1).

Đặt \(g\left( y \right) = \log \left[ {11\sqrt {y + 1} - y\sqrt {y + 1} - 6} \right]\) với \(y \ge 0\).

Đặt \(t = \sqrt {y + 1} \ge 1\) ta có \(g\left( t \right) = \log \left[ {11t - \left( {{t^2} - 1} \right)t - 6} \right] = \log \left( { - {t^3} + 12t - 6} \right)\).

Ta có \(g'\left( t \right) = \dfrac{{ - 3{t^2} + 12}}{{\left( { - {t^3} + 12t - 6} \right)\ln 10}} = 0 \Leftrightarrow t = \pm 2\).

BBT:

Dụa vào BBT \( \Rightarrow g\left( y \right) \le 1\,\,\forall y \ge 0\) (2)

Từ (1) và (2) ta có \(f\left( x \right) \ge 1 \ge g\left( y \right)\,\,\forall x,\,\,y \ge 0\).

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) = 1\\g\left( y \right) = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\\sqrt {y + 1} = 2 \Leftrightarrow y = 3\end{array} \right.\).

Vậy \(P = {x^2} - {y^2} - xy + 2021 = 1 - 9 - 3 + 2021 = 2010\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.