Cho hình tứ diện đều \(ABCD\) có độ dài các cạnh bằng 1. Gọi \(M,\,\,N,\,\,P\) lần lượt là
Cho hình tứ diện đều \(ABCD\) có độ dài các cạnh bằng 1. Gọi \(M,\,\,N,\,\,P\) lần lượt là trọng tâm của các tam giác \(ABC,\,\,ABD,\,\,ACD\). Gọi \(O\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình tứ diện \(ABCD\). Tính thể tích của khối tứ diện \(OMNP\).
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
- Gọi \(M',\,\,N',\,\,P'\) lần lượt là trung điểm của \(BC,\,\,BD,\,\,CD\), \(G,\,\,I\) lần lượt là trọng tâm tam giác \(BCD,\,\,MNP\). Tính \(\dfrac{{{S_{\Delta MNP}}}}{{{S_{\Delta BCD}}}}\) dựa vào tỉ số tam giác đồng dạng.
- Tính tỉ số \(\dfrac{{OI}}{{AG}}\), sử dụng định lí Ta-lét.
- Tính \(\dfrac{{{V_{OMNP}}}}{{{V_{ABCD}}}} = \dfrac{{OI}}{{AG}}.\dfrac{{{S_{\Delta MNP}}}}{{{S_{\Delta BCD}}}}\).
- Sử dụng công thức tính nhanh: Thể tích tứ diện đều cạnh \(a\) là \(V = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\).
Gọi \(M',\,\,N',\,\,P'\) lần lượt là trung điểm của \(BC,\,\,BD,\,\,CD\), \(G,\,\,I\) lần lượt là trọng tâm tam giác \(BCD,\,\,MNP\).
Ta có: \(\dfrac{{MN}}{{M'N'}} = \dfrac{{AM}}{{AM'}} = \dfrac{2}{3}\) \( \Rightarrow \Delta MNP \sim \Delta M'N'P'\) theo tỉ số \(\dfrac{2}{3}\) \( \Rightarrow {S_{\Delta MNP}} = \dfrac{4}{9}{S_{\Delta M'N'P'}}\).
Lại có \(\Delta M'N'P' \sim \Delta DCB\) theo tỉ số \(\dfrac{1}{2}\) nên \({S_{\Delta MNP}} = \dfrac{1}{4}{S_{\Delta BCD}}\) \( \Rightarrow {S_{\Delta M'N'P'}} = \dfrac{1}{9}{S_{\Delta BCD}}\).
Vì \(O\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(ABCD\) nên \(\dfrac{{AO}}{{AG}} = \dfrac{3}{4}\).
Áp dụng định lí Ta-lét: \(\dfrac{{AI}}{{AG}} = \dfrac{{AM}}{{AM'}} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow \dfrac{{AI}}{{AO}} = \dfrac{{AI}}{{AG}}:\dfrac{{AO}}{{AG}} = \dfrac{2}{3}:\dfrac{3}{4} = \dfrac{8}{9}\)
\( \Rightarrow \dfrac{{OI}}{{AO}} = \dfrac{1}{9} \Rightarrow \dfrac{{OI}}{{AG}} = \dfrac{{OI}}{{AO}}.\dfrac{{AO}}{{AG}} = \dfrac{1}{9}.\dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{{12}}\)
\( \Rightarrow \dfrac{{{V_{OMNP}}}}{{{V_{ABCD}}}} = \dfrac{1}{{12}}.\dfrac{1}{9} = \dfrac{1}{{108}} \Rightarrow {V_{OMNP}} = \dfrac{1}{{108}}{V_{ABCD}}\).
Mà \(ABCD\) là tứ diện đều cạnh \(1\) nên \({V_{ABCD}} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{{12}}\).
Vậy \({V_{OMNP}} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{{1296}}\).
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
