Cho hình tứ diện đều \(ABCD\) có độ dài các cạnh bằng 1. Gọi \(M,\,\,N,\,\,P\) lần lượt là

Câu hỏi số 470086:

Vận dụng

Cho hình tứ diện đều \(ABCD\) có độ dài các cạnh bằng 1. Gọi \(M,\,\,N,\,\,P\) lần lượt là trọng tâm của các tam giác \(ABC,\,\,ABD,\,\,ACD\). Gọi \(O\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình tứ diện \(ABCD\). Tính thể tích của khối tứ diện \(OMNP\).

A. \(\dfrac{{\sqrt 2 }}{{192}}\)

B. \(\dfrac{{\sqrt 2 }}{{864}}\)

C. \(\dfrac{{\sqrt 2 }}{{576}}\)

D. \(\dfrac{{\sqrt 2 }}{{1296}}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:470086

Phương pháp giải

- Gọi \(M',\,\,N',\,\,P'\) lần lượt là trung điểm của \(BC,\,\,BD,\,\,CD\), \(G,\,\,I\) lần lượt là trọng tâm tam giác \(BCD,\,\,MNP\). Tính \(\dfrac{{{S_{\Delta MNP}}}}{{{S_{\Delta BCD}}}}\) dựa vào tỉ số tam giác đồng dạng.

- Tính tỉ số \(\dfrac{{OI}}{{AG}}\), sử dụng định lí Ta-lét.

- Tính \(\dfrac{{{V_{OMNP}}}}{{{V_{ABCD}}}} = \dfrac{{OI}}{{AG}}.\dfrac{{{S_{\Delta MNP}}}}{{{S_{\Delta BCD}}}}\).

- Sử dụng công thức tính nhanh: Thể tích tứ diện đều cạnh \(a\) là \(V = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\).

Giải chi tiết

Gọi \(M',\,\,N',\,\,P'\) lần lượt là trung điểm của \(BC,\,\,BD,\,\,CD\), \(G,\,\,I\) lần lượt là trọng tâm tam giác \(BCD,\,\,MNP\).

Ta có: \(\dfrac{{MN}}{{M'N'}} = \dfrac{{AM}}{{AM'}} = \dfrac{2}{3}\) \( \Rightarrow \Delta MNP \sim \Delta M'N'P'\) theo tỉ số \(\dfrac{2}{3}\) \( \Rightarrow {S_{\Delta MNP}} = \dfrac{4}{9}{S_{\Delta M'N'P'}}\).

Lại có \(\Delta M'N'P' \sim \Delta DCB\) theo tỉ số \(\dfrac{1}{2}\) nên \({S_{\Delta MNP}} = \dfrac{1}{4}{S_{\Delta BCD}}\) \( \Rightarrow {S_{\Delta M'N'P'}} = \dfrac{1}{9}{S_{\Delta BCD}}\).

Vì \(O\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(ABCD\) nên \(\dfrac{{AO}}{{AG}} = \dfrac{3}{4}\).

Áp dụng định lí Ta-lét: \(\dfrac{{AI}}{{AG}} = \dfrac{{AM}}{{AM'}} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow \dfrac{{AI}}{{AO}} = \dfrac{{AI}}{{AG}}:\dfrac{{AO}}{{AG}} = \dfrac{2}{3}:\dfrac{3}{4} = \dfrac{8}{9}\)

\( \Rightarrow \dfrac{{OI}}{{AO}} = \dfrac{1}{9} \Rightarrow \dfrac{{OI}}{{AG}} = \dfrac{{OI}}{{AO}}.\dfrac{{AO}}{{AG}} = \dfrac{1}{9}.\dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{{12}}\)

\( \Rightarrow \dfrac{{{V_{OMNP}}}}{{{V_{ABCD}}}} = \dfrac{1}{{12}}.\dfrac{1}{9} = \dfrac{1}{{108}} \Rightarrow {V_{OMNP}} = \dfrac{1}{{108}}{V_{ABCD}}\).

Mà \(ABCD\) là tứ diện đều cạnh \(1\) nên \({V_{ABCD}} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{{12}}\).

Vậy \({V_{OMNP}} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{{1296}}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.