Tìm tất cả các giá trị dương của \(n\) thỏa mãn \({\left( {{3^n} + {7^n}} \right)^{2021}} > {\left(

Câu hỏi số 470090:

Vận dụng cao

Tìm tất cả các giá trị dương của \(n\) thỏa mãn \({\left( {{3^n} + {7^n}} \right)^{2021}} > {\left( {{3^{2021}} + {7^{2021}}} \right)^n}\).

A. \(1 < n < 2021\)

B. \(0 < n < 1\)

C. \(n > 2021\)

D. \(0 < n < 2021\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:470090

Phương pháp giải

- Lấy loganepe hai vế của bất phương trình.

- Sử dụng phương pháp xét hàm đặc trưng.

Giải chi tiết

Lấy loganepe hai vế của bất phương trình ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,{\left( {{3^n} + {7^n}} \right)^{2021}} > {\left( {{3^{2021}} + {7^{2021}}} \right)^n}\\ \Leftrightarrow 2021.\ln \left( {{3^n} + {7^n}} \right) > n.\ln \left( {{3^{2021}} + {7^{2021}}} \right)\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\ln \left( {{3^n} + {7^n}} \right)}}{n} > \dfrac{{\ln \left( {{3^{2021}} + {7^{2021}}} \right)}}{{2021}}\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = \dfrac{{\ln \left( {{3^t} + {7^t}} \right)}}{t}\) với \(t \in {\mathbb{Z}^ + }\) ta có:

\(\begin{array}{l}f'\left( t \right) = \dfrac{{\dfrac{1}{{{3^t} + {7^t}}}\left( {{3^t}\ln 3 + {7^t}\ln 7} \right)t - \ln \left( {{3^t} + {7^t}} \right)}}{{{t^2}}}\\f'\left( t \right) = \dfrac{{t{{.3}^t}.\ln 3 + t{{.7}^t}\ln 7 - \left( {{3^t} + {7^t}} \right)\ln \left( {{3^t} + {7^t}} \right)}}{{{t^2}\left( {{3^t} + {7^t}} \right)}}\\f'\left( t \right) = \dfrac{{{3^t}.\ln {3^t} + {7^t}\ln {7^t} - {3^t}\ln \left( {{3^t} + {7^t}} \right) - {7^t}\ln \left( {{3^t} + {7^t}} \right)}}{{{t^2}\left( {{3^t} + {7^t}} \right)}}\\f'\left( t \right) = \dfrac{{{3^t}.\left[ {\ln {3^t} - \ln \left( {{3^t} + {7^t}} \right)} \right] + {7^t}\left[ {\ln {7^t} - \ln \left( {{3^t} + {7^t}} \right)} \right]}}{{{t^2}\left( {{3^t} + {7^t}} \right)}}\end{array}\)

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}{3^t} < {3^t} + {7^t} \Rightarrow \ln {3^t} < \ln \left( {{3^t} + {7^t}} \right)\\{7^t} < {3^t} + {7^t} \Rightarrow \ln {7^t} < \ln \left( {{3^t} + {7^t}} \right)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow f'\left( t \right) < 0\,\,\forall t \in {\mathbb{Z}^ + }\).

Do đó hàm số \(y = f\left( t \right)\) nghịch biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Từ (*) suy ra \(0 < n < 2021\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.