Cho hàm số \(y = \dfrac{{\left( {2m - 1} \right)x - m}}{{x + m}}\) \(\left( {m \ne 0} \right)\) có đồ thị

Câu hỏi số 470091:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(y = \dfrac{{\left( {2m - 1} \right)x - m}}{{x + m}}\) \(\left( {m \ne 0} \right)\) có đồ thị \(\left( {{C_m}} \right)\). Biết rằng tồn tại duy nhất một đường thẳng \(\left( d \right)\) có phương trình \(y = ax + b\) sao cho \(\left( {{C_m}} \right)\) luôn tiếp xúc với \(\left( d \right)\). Giá trị của \(a + b\) là:

A. \( - 3\)

B. \(1\)

C. \( - 1\)

D. \(2\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:470091

Phương pháp giải

- Tìm điểm \({M_0} \in \left( {{C_m}} \right)\) cố định, dự đoán \({M_0}\) là tiếp điểm.

- Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị \(\left( {{C_m}} \right)\) tại \({M_0}\).

- Thử lại: Xét phương trình hoành độ giao điểm, chứng minh tiếp tuyến vừa tìm được luôn tiếp xúc với \(\left( {{C_m}} \right)\) \(\forall m \ne 0\).

- Đồng nhất hệ số tìm \(a,\,\,b\).

Giải chi tiết

Ta có \(y = \dfrac{{\left( {2m - 1} \right)x - m}}{{x + m}} = \dfrac{{2mx - x - m}}{{x + m}} = \dfrac{{2mx}}{{x + m}} - 1\).

\( \Rightarrow \forall m \ne 0\) thì đồ thị hàm số \(\left( {{C_m}} \right)\) luôn đi qua điểm cố định \({M_0}\left( {0; - 1} \right)\). Ta dự đoán \({M_0}\) là tiếp điểm.

Khi đó ta có: Đường thẳng \(y = ax + b\) là tiếp tuyến của \(\left( {{C_m}} \right)\) tại \({M_0}\left( {0; - 1} \right)\).

Ta có: \(y' = \dfrac{{2{m^2}}}{{{{\left( {x + m} \right)}^2}}} \Rightarrow y'\left( 0 \right) = 2\).

\( \Rightarrow \) Phương trình tiếp tuyến của \(\left( {{C_m}} \right)\) tại \({M_0}\left( {0; - 1} \right)\) là \(y = 2\left( {x - 0} \right) - 1 = 2x - 1\).

Thử lại: Xét phương trình hoành độ giao điểm

\(\dfrac{{2mx}}{{x + m}} - 1 = 2x - 1 \Leftrightarrow 2mx = 2{x^2} + 2mx \Leftrightarrow 2{x^2} = 0 \Leftrightarrow x = 0\) (nghiệm kép).

Do đó đường thẳng \(y = 2x - 1\) luôn tiếp xúc với \(\left( {{C_m}} \right)\) (thỏa mãn).

Vậy \(a = 2,\,\,b = - 1 \Rightarrow a + b = 1\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.