Cho hình tứ diện đều \(ABCD\) có độ dài các cạnh bằng \(1\). Gọi \(A',\,\,B',\,\,C',\,\,D'\) lần

Câu hỏi số 470089:

Vận dụng

Cho hình tứ diện đều \(ABCD\) có độ dài các cạnh bằng \(1\). Gọi \(A',\,\,B',\,\,C',\,\,D'\) lần lượt là điểm đối xứng của \(A,\,\,B,\,\,C,\,\,D\) qua các mặt phẳng \(\left( {BCD} \right),\,\,\left( {ACD} \right),\,\,\left( {ABD} \right),\,\,\left( {ABC} \right)\). Tính thể tích của khối tứ diện \(A'B'C'D'\).

A. \(\dfrac{{2\sqrt 2 }}{3}\)

B. \(\dfrac{{9\sqrt 2 }}{{32}}\)

C. \(\dfrac{{16\sqrt 2 }}{{81}}\)

D. \(\dfrac{{125\sqrt 2 }}{{324}}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:470089

Phương pháp giải

- Tứ diện \(A'B'C'D'\) đồng dạng với tứ diện \(ABCD\) theo tỉ số \(k = \dfrac{{A'B'}}{{AB}}\).

- Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trong tâm tam giác \(BCD,\,\,ACD\), gọi \(G = AM \cap BN\). Tính \(\dfrac{{GA'}}{{GA}} = \dfrac{{A'B'}}{{AB}}\).

- Tính \(\dfrac{{{V_{A'B'C'D'}}}}{{{V_{ABCD}}}} = {k^3}\).

- Sử dụng công thức tính nhanh: Thể tích khối tứ diện đều cạnh \(a\) là \(V = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\).

Giải chi tiết

Dễ dàng nhận thấy tứ diện \(A'B'C'D'\) đồng dạng với tứ diện \(ABCD\) theo tỉ số \(k = \dfrac{{A'B'}}{{AB}}\).

Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trong tâm tam giác \(BCD,\,\,ACD\) ta có \(AM \bot \left( {BCD} \right),\,\,BN \bot \left( {ACD} \right)\). Gọi \(G = AM \cap BN\).

Ta có \(G\) là trọng tâm của tứ diện đều \(ABCD\) nên \(\dfrac{{AG}}{{AM}} = \dfrac{3}{4} \Rightarrow \dfrac{{AG}}{{AA'}} = \dfrac{3}{8} \Rightarrow \dfrac{{GA'}}{{GA}} = \dfrac{5}{3}\).

Áp dụng định lí Ta-lét ta có: \(\dfrac{{GA'}}{{GA}} = \dfrac{{A'B'}}{{AB}} = \dfrac{5}{3} = k\).

\( \Rightarrow \dfrac{{{V_{A'B'C'D'}}}}{{{V_{ABCD}}}} = {k^3} = \dfrac{{125}}{{27}}\).

Mà \(ABCD\) là tứ diện đều cạnh \(1\) nên \({V_{ABCD}} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{{12}}\).

Vậy \({V_{A'B'C'D'}} = \dfrac{{125}}{{37}}.\dfrac{{\sqrt 2 }}{{12}} = \dfrac{{125\sqrt 2 }}{{324}}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.