Cho bất phương trình \({\log _{\frac{{37}}{{55}}}}\dfrac{{{2^3} - 1}}{{{2^3} + 1}} + {\log

Câu hỏi số 470100:

Vận dụng cao

Cho bất phương trình \({\log _{\frac{{37}}{{55}}}}\dfrac{{{2^3} - 1}}{{{2^3} + 1}} + {\log _{\frac{{37}}{{55}}}}\dfrac{{{3^3} - 1}}{{{3^3} + 1}} + ... + {\log _{\frac{{37}}{{55}}}}\dfrac{{{x^3} - 1}}{{{x^3} + 1}} < 1\) với \(x \in \mathbb{N},\,\,x > 2\). Tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình đã cho bằng bao nhiêu?

A. \(54\)

B. \(228\)

C. \(207\)

D. \(42\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:470100

Phương pháp giải

Rút gọn \(\dfrac{{{x^3} - 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3} + 1}} = \dfrac{{x - 1}}{{x + 2}}\). Từ đó rút gọn biểu thức trong log và giải bất phương trình.

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,{\log _{\frac{{37}}{{55}}}}\dfrac{{{2^3} - 1}}{{{2^3} + 1}} + {\log _{\frac{{37}}{{55}}}}\dfrac{{{3^3} - 1}}{{{3^3} + 1}} + ... + {\log _{\frac{{37}}{{55}}}}\dfrac{{{x^3} - 1}}{{{x^3} + 1}} < 1\\ \Leftrightarrow {\log _{\frac{{37}}{{55}}}}\left( {\dfrac{{{2^3} - 1}}{{{2^3} + 1}}.\dfrac{{{3^3} - 1}}{{{3^3} + 1}}...\dfrac{{{x^3} - 1}}{{{x^3} + 1}}} \right) < 1\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Ta có: \(\dfrac{{{x^3} - 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3} + 1}} = \dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left[ {{{\left( {x + 1} \right)}^2} - \left( {x + 1} \right) + 1} \right]}} = \dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = \dfrac{{x - 1}}{{x + 2}}\).

Khi đó

\(\begin{array}{l}\left( * \right) \Leftrightarrow {\log _{\frac{{37}}{{55}}}}\left( {\dfrac{1}{{{2^3} + 1}}.\dfrac{1}{4}.\dfrac{2}{5}.\dfrac{3}{6}.\dfrac{4}{7}....\dfrac{{x - 2}}{{x + 1}}.\left( {{x^3} - 1} \right)} \right) < 1\\ \Leftrightarrow {\log _{\frac{{37}}{{55}}}}\left( {\dfrac{{{x^3} - 1}}{9}.\dfrac{{1.2.3}}{{\left( {x - 1} \right)x\left( {x + 1} \right)}}} \right) < 1\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{x^3} - 1}}{9}.\dfrac{{1.2.3}}{{\left( {x - 1} \right)x\left( {x + 1} \right)}} > \dfrac{{37}}{{55}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{2}{3}.\dfrac{{{x^2} + x + 1}}{{{x^2} + x}} > \dfrac{{37}}{{55}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2} + x + 1}}{{{x^2} + x}} > \dfrac{{111}}{{110}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{x^2} + x}} > \dfrac{1}{{110}}\\ \Leftrightarrow {x^2} + x < 110\\ \Leftrightarrow - 11 < x < 10\end{array}\)

Kết hợp điều kiện đề bài ta có \(\left\{ \begin{array}{l}2 < x < 10\\x \in \mathbb{Z}\end{array} \right. \Rightarrow x \in \left\{ {3;4;5;...;9} \right\}\).

Vậy tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình đã cho bằng: \(3 + 4 + ... + 9 = \dfrac{{\left( {3 + 9} \right).7}}{2} = 42\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.