Cho tam giác vuông ABC ( = 900), đường cao AH. Biết AB : AC = 1 : √3; HC - HB = 8 cm. a. Tính các cạnh của ∆ABC. b. Hình chữ nhật MNPQ nội tiếp ∆ABC (các điểm P và Q thuộc cạnh BC; M thuộc cạnh AB và N thuộc cạnh AC). Tìm GTLN của diện tích hình chữ nhật MNPQ.

Câu hỏi số 47022:

Cho tam giác vuông ABC ( $\widehat{A}$ = 90⁰), đường cao AH. Biết AB : AC = 1 : √3; HC - HB = 8 cm.

a. Tính các cạnh của ∆ABC.

b. Hình chữ nhật MNPQ nội tiếp ∆ABC (các điểm P và Q thuộc cạnh BC; M thuộc cạnh AB và N thuộc cạnh AC). Tìm GTLN của diện tích hình chữ nhật MNPQ.

A. AC = √3 (cm), AB = 8 (cm), BC = 16 (cm), GTLN của S = 16√3 (cm²)

B. AC = 8√3 (cm), AB = 8 (cm), BC = 16 (cm), GTLN của S = 16√3 (cm²)

C. AC = 8√3 (cm), AB = 18 (cm), BC = 16 (cm), GTLN của S = 16√3 (cm²)

D. AC = 8√3 (cm), AB = 8 (cm), BC = 6 (cm), GTLN của S = 16√3 (cm²)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:47022

Giải chi tiết

a. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

$\frac{AB^{2}}{AC^{2}}$ = $\frac{BH.BC}{CH.BC}$ = $\frac{BH}{CH}$

mà $\frac{AB^{2}}{AC^{2}}$ = $\left ( \frac{1}{\sqrt{3}} \right )^{2}$ = $\frac{1}{3}$

Vậy $\frac{BH}{CH}$ = $\frac{1}{3}$ ⇔ HC = 3BH.

Mặt khác ta có: HC - HB = 8 (gt)

=> 3HB - BH = 8 ⇔ BH = 4 và HC = 12. Do đó BC = 16 (cm).

AB² = BH.BC = 4.16 ⇔ AB = 8 (cm); AC² = CH.CB = 12.16 ⇔ AC = 8√3 (cm).

b. Gọi độ dài các cạnh hình chữ nhật là x và y thì AE = AH - x

mà AH² = HB.HC = 4.12 ⇔ AH = 4√3 nên AE = 4√3 - x.

Vì MN // BC nên ∆AMN ∽ ∆ABC

=> $\frac{MN}{BC}$ = $\frac{AE}{AH}$ hay $\frac{y}{16}$ = $\frac{4\sqrt{3}-x}{4\sqrt{3}}$ ⇔ y = $\frac{4(4\sqrt{3}-x)}{\sqrt{3}}$

S_(MNPQ) = x.y = x. $\frac{4(4\sqrt{3}-x)}{\sqrt{3}}$ = $\frac{-4[x^{2}-4\sqrt{3}x+(2\sqrt{3})^{2}-(2\sqrt{3})^{2}]}{\sqrt{3}}$ = $\frac{-4(x-2\sqrt{3})^{2}+48}{\sqrt{3}}$ ≤ $\frac{48}{\sqrt{3}}$ = 16√3.

Vậy GTLN của S = 16√3 (cm²) khi x = 2√3 (cm).

Đáp án cần chọn là: B

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link