Giả sử \(f\left( x \right)\) là một hàm số có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\). Biết rằng

Câu hỏi số 472007:

Vận dụng

Giả sử \(f\left( x \right)\) là một hàm số có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\). Biết rằng \(G\left( x \right) = {x^3}\) là một nguyên hàm của \(g\left( x \right) = {e^{ - 2x}}f\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\). Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \({e^{ - 2x}}f'\left( x \right)dx\) là:

A. \( - 2{x^3} + 3{x^2} + C\)

B. \(2{x^3} + 3{x^2} + C\)

C. \({x^3} + 3{x^2} + C\)

D. \( - {x^3} + 3{x^2} + C\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:472007

Phương pháp giải

- Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần.

- Sử dụng: \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}\int {f\left( x \right)dx} = F\left( x \right) + C\\f\left( x \right) = F'\left( x \right)\end{array} \right.\).

Giải chi tiết

Xét \(I = \int {{e^{ - 2x}}f'\left( x \right)dx} \).

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = {e^{ - 2x}}\\dv = f'\left( x \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = - 2{e^{ - 2x}}dx\\v = f\left( x \right)\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow I = {e^{ - 2x}}f\left( x \right) + 2\int {{e^{ - 2x}}f\left( x \right)dx} \).

Vì \(G\left( x \right) = {x^3}\) là một nguyên hàm của \(g\left( x \right) = {e^{ - 2x}}f\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}\int {{e^{ - 2x}}f\left( x \right)dx} = G\left( x \right) + C = {x^3} + C\\{e^{ - 2x}}f\left( x \right) = G'\left( x \right) = 3{x^2}\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow I = {x^3} + 3{x^2} + C\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.