Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\), hàm số \(y = f'\left( x \right)\)

Câu hỏi số 472419:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\), hàm số \(y = f'\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\), hàm số \(y = f'\left( {x + 2021} \right)\) cắt trục hoành tại các điểm có hoành độ \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số nguyên và có đồ thị như hình vẽ.

Gọi \({m_1}\) là số giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số \(y = g\left( x \right) = f\left( {{x^2} - 2x + m} \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {1;2} \right);\) \({m_2}\) là số giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số \(y = h\left( x \right) = f\left( {{x^2} - 4x + m} \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {1;2} \right)\). Khi đó \({m_1} + {m_2}\) bằng:

A. \(2b - 2a + 1\)

B. \(2b - 2a - 2\)

C. \(2b - 2a + 2\)

D. \(2b - 2a\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:472419

Phương pháp giải

- Xác định khoảng của \(x\) ứng với \(f'\left( {x + 2021} \right) \le 0\).

- Hàm số \(y = g\left( x \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {1;2} \right)\) nên \(g'\left( x \right) \le 0\,\,\forall x \in \left( {1;2} \right)\).

- Đưa về bài toán giải các bất phương trình nghiệm đúng. Từ đó tìm \({m_1}\).

- Tương tự với hàm số \(h\left( x \right)\), tìm \({m_2}\).

Giải chi tiết

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy \(f'\left( {x + 2021} \right) \le 0 \Leftrightarrow a \le x + 2021 \le b \Rightarrow a - 2021 \le x \le b - 2021\)

Xét hàm số \(y = g\left( x \right) = f\left( {{x^2} - 2x + m} \right)\) có \(g'\left( x \right) = 2\left( {x - 1} \right).f'\left( {{x^2} - 2x + m} \right)\)

Vì \(y = g\left( x \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {1;2} \right)\) nên

\(\begin{array}{l}2\left( {x - 1} \right).f'\left( {{x^2} - 2x + m} \right) \le 0\,\,\,\forall x \in \left( {1;2} \right)\\ \Rightarrow f'\left( {{x^2} - 2x + m} \right) \le 0\,\,\,\forall x \in \left( {1;2} \right)\\ \Leftrightarrow a - 2021 \le {x^2} - 2x + m \le b - 2021\,\,\,\forall x \in \left( {1;2} \right)\end{array}\)

Xét \(a - 2021 \le {x^2} - 2x + m\,\,\,\forall x \in \left( {1;2} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {x^2} - 2x + 2021 \ge a - m\\ \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {1;2} \right]} \left( {{x^2} - 2x + 2021} \right) \ge a - m\end{array}\)

Hàm số \(y = {x^2} - 2x + 2021\) đồng biến trên \(\left[ {1;2} \right]\), do đó \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;2} \right]} \left( {{x^2} - 2x + 2021} \right) = {1^2} - 2.1 + 2021 = 2020\).

\( \Rightarrow 2020 \ge a - m \Rightarrow m \ge a - 2020\,\,\,\left( 1 \right)\).

Tương tự \({x^2} - 2x + m \le b - 2021\,\,\,\forall x \in \left( {1;2} \right)\) ta có \(m \le b - 2021\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) ta có \(a - 2020 \le m \le b - 2021 \Rightarrow {m_1} = b - a\).

Chứng minh tương tự với hàm \(h\left( x \right)\) ta có \({m_2} = b - a\).

Vậy \({m_1} + {m_2} = 2b - 2a\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.