Cho các số dương \(x,\,\,y\) thỏa mãn \({2^{{x^3} - y + 1}} = \dfrac{{2x + y}}{{2{x^3} + 4x + 4}}\). Tìm giá

Câu hỏi số 472420:

Vận dụng cao

Cho các số dương \(x,\,\,y\) thỏa mãn \({2^{{x^3} - y + 1}} = \dfrac{{2x + y}}{{2{x^3} + 4x + 4}}\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \dfrac{7}{y} + \dfrac{{{x^3}}}{7}\).

A. \(\dfrac{{33}}{7}\)

B. \(\dfrac{{35}}{{14}}\)

C. \(\dfrac{8}{7}\)

D. \(\dfrac{{12}}{7}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:472420

Phương pháp giải

- Sử dụng hàm đặc trưng, tìm biểu diễn \({x^3}\) theo \(y\).

- Thế vào biểu thức \(P\), sử dụng BĐT Cô-si tìm GTNN của biểu thức \(P\).

Giải chi tiết

Ta có \({2^{{x^3} - y + 1}} = \dfrac{{2x + y}}{{2{x^3} + 4x + 4}}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {2^{{x^3} + 2x + 2 - 2x - y - 1}} = \dfrac{{2x + y}}{{2{x^3} + 4x + 4}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{2^{{x^3} + 2x + 2}}}}{{{2^{2x + y}}.2}} = \dfrac{{2x + y}}{{2\left( {{x^3} + 2x + 2} \right)}}\\ \Leftrightarrow {2^{{x^3} + 2x + 2}}\left( {{x^3} + 2x + 2} \right) = {2^{2x + y}}.\left( {2x + y} \right)\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Xét \(f\left( t \right) = {2^t}.t,\,\,t > 0\) ta có \(f'\left( t \right) = {2^t} + t{.2^t}.\ln 2 > 0;\,\,\forall t > 0\). Do đó hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Do đó \(\left( * \right) \Leftrightarrow {x^3} + 2x + 2 = 2x + y \Rightarrow {x^3} = y - 2\)

Khi đó \(P = \dfrac{7}{y} + \dfrac{{{x^3}}}{7} = \dfrac{7}{y} + \dfrac{{y - 2}}{7} = \dfrac{7}{y} + \dfrac{y}{7} - \dfrac{2}{7} \ge 2\sqrt {\dfrac{7}{y}.\dfrac{y}{7}} - \dfrac{2}{7} = \dfrac{{12}}{7}\).

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \dfrac{7}{y} = \dfrac{y}{7} \Leftrightarrow y = 7\,\,\left( {do\,\,y > 0} \right)\).

Vậy \({P_{\min }} = \dfrac{{12}}{7} \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{5},\,\,y = 7\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.