Có bao nhiêu số nguyên \(a\) (\(a \ge 2)\) sao cho tồn tại số thực \(x\) thỏa mãn: \({\left( {{a^{\log
Có bao nhiêu số nguyên \(a\) (\(a \ge 2)\) sao cho tồn tại số thực \(x\) thỏa mãn:
\({\left( {{a^{\log x}} + 2} \right)^{\log a}} = x - 2\)
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
- Đặt \(b = \log a \ge \log 2\), sử dụng phương pháp xét hàm số đặc trưng.
- Đưa về phương trình đơn giản hơn ẩn \(x\), sử dụng tương giao tìm giá trị của \(a\) để phương trình có nghiệm.
Ta có: \({\left( {{a^{\log x}} + 2} \right)^{\log a}} = x - 2 \Leftrightarrow {\left( {{x^{\log a}} + 2} \right)^{\log a}} = x - 2\)
Đặt \(b = \log a\) \( \Leftrightarrow a = {10^b}\). Vì \(a \ge 2 \Rightarrow b \ge \log 2 > 0\).
Phương trình đã cho trở thành:
\({\left( {{x^b} + 2} \right)^b} = x - 2 \Leftrightarrow {\left( {{x^b} + 2} \right)^b} + \left( {{x^b} + 2} \right) = {x^b} + x\,\,\left( * \right)\).
Xét hàm số \(f\left( t \right) = {t^b} + t\) ta có \(f'\left( t \right) = b{t^{b - 1}} + 1 > 0 \Rightarrow \) Hàm số \(y = f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Do đó (*) \( \Leftrightarrow {x^b} + 2 = x \Leftrightarrow {x^{\log a}} = x - 2\,\,\left( {**} \right)\).
Với \(\log a \ge 1\) ta có đồ thị hàm số như sau:
\( \Rightarrow \) Phương trình (**) vô nghiệm.
Với \(\log a < 1\) ta có đồ thị hàm số như sau:
\( \Rightarrow \) Phương trình (**) có nghiệm \( \Rightarrow \) Thỏa mãn.
\( \Rightarrow \log a < 1 \Leftrightarrow a < 10\). Kết hợp điều kiện đề bài ta có \(a \in \left\{ {2;3;4;...;9} \right\}\).
Vậy có 8 giá trị của \(a\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
