Có bao nhiêu số nguyên \(a\) (\(a \ge 2)\) sao cho tồn tại số thực \(x\) thỏa mãn: \({\left( {{a^{\log

Câu hỏi số 473184:

Vận dụng cao

Có bao nhiêu số nguyên \(a\) (\(a \ge 2)\) sao cho tồn tại số thực \(x\) thỏa mãn:

\({\left( {{a^{\log x}} + 2} \right)^{\log a}} = x - 2\)

A. \(8\)

B. \(9\)

C. \(1\)

D. Vô số

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:473184

Phương pháp giải

- Đặt \(b = \log a \ge \log 2\), sử dụng phương pháp xét hàm số đặc trưng.

- Đưa về phương trình đơn giản hơn ẩn \(x\), sử dụng tương giao tìm giá trị của \(a\) để phương trình có nghiệm.

Giải chi tiết

Ta có: \({\left( {{a^{\log x}} + 2} \right)^{\log a}} = x - 2 \Leftrightarrow {\left( {{x^{\log a}} + 2} \right)^{\log a}} = x - 2\)

Đặt \(b = \log a\) \( \Leftrightarrow a = {10^b}\). Vì \(a \ge 2 \Rightarrow b \ge \log 2 > 0\).

Phương trình đã cho trở thành:

\({\left( {{x^b} + 2} \right)^b} = x - 2 \Leftrightarrow {\left( {{x^b} + 2} \right)^b} + \left( {{x^b} + 2} \right) = {x^b} + x\,\,\left( * \right)\).

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {t^b} + t\) ta có \(f'\left( t \right) = b{t^{b - 1}} + 1 > 0 \Rightarrow \) Hàm số \(y = f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Do đó (*) \( \Leftrightarrow {x^b} + 2 = x \Leftrightarrow {x^{\log a}} = x - 2\,\,\left( {**} \right)\).

Với \(\log a \ge 1\) ta có đồ thị hàm số như sau:

\( \Rightarrow \) Phương trình (**) vô nghiệm.

Với \(\log a < 1\) ta có đồ thị hàm số như sau:

\( \Rightarrow \) Phương trình (**) có nghiệm \( \Rightarrow \) Thỏa mãn.

\( \Rightarrow \log a < 1 \Leftrightarrow a < 10\). Kết hợp điều kiện đề bài ta có \(a \in \left\{ {2;3;4;...;9} \right\}\).

Vậy có 8 giá trị của \(a\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.