Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {2;1;3} \right)\) và \(B\left( {6;5;5} \right)\). Xét khối

Câu hỏi số 473187:

Vận dụng cao

Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {2;1;3} \right)\) và \(B\left( {6;5;5} \right)\). Xét khối nón \(\left( N \right)\) có đỉnh \(A\), đường tròn đáy nằm trên mặt cầu đường kính \(AB\). Khi \(\left( N \right)\) có thể tích lớn nhất thì mặt phẳng chứa đường tròn đáy của \(\left( N \right)\) có phương trình dạng \(2x + by + cz + d = 0\). Giá trị của \(b + c + d\) bằng:

A. \( - 21\)

B. \( - 12\)

C. \( - 18\)

D. \( - 15\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:473187

Phương pháp giải

- Không mất tính tổng quát ta giả sử đường cao của hình trụ trùng với \(AB\).

- Tính bán kính mặt cầu.

- Sử dụng định lí Pytago tính bán kính đường tròn đáy hình nón.

- Sử dụng BĐT Cô-si tìm GTLN của thể tích khối nón.

Giải chi tiết

Không mất tính tổng quát ta giả sử đường cao của hình trụ trùng với \(AB\).

Gọi \(I\) là tâm mặt cầu đường kính \(AB\).

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(I\) lên mặt phẳng chứa đường tròn đáy của hình nón \(\left( N \right)\).

Đặt \(R,\,\,r\) lần lượt là bán kính mặt cầu và bán kính đường tròn đáy của hình nón.

Ta có \(AB = \sqrt {{4^2} + {4^2} + {2^2}} = \sqrt {36} = 6\) \( \Rightarrow R = \dfrac{1}{2}AB = 3\).

Gọi \(h\) là chiều cao hình trụ \(\left( {h > 3} \right)\) \( \Rightarrow IH = h - 3\).

\( \Rightarrow r = \sqrt {{3^2} - {{\left( {h - 3} \right)}^2}} = \sqrt { - {h^2} + 6h} \).

\( \Rightarrow \) Thể tích khối nón \(\left( N \right)\) là: \(V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h = \dfrac{1}{3}\pi .\left( { - {h^2} + 6h} \right).h = \dfrac{1}{3}\pi {h^2}\left( {6 - h} \right)\).

Áp dụng BĐT Cô-si ta có: \({h^2}\left( {6 - h} \right) = \dfrac{1}{2}h.h.\left( {12 - 2h} \right) \le \dfrac{1}{2}.{\left( {\dfrac{{h + h + 12 - 2h}}{3}} \right)^3} = 32\).

\( \Rightarrow {V_{\left( N \right)}} \le \dfrac{1}{3}\pi .32 = \dfrac{{32\pi }}{3}\).

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow h = 12 - 2h = h = 4\) \( \Rightarrow \dfrac{{AH}}{{AB}} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow \overrightarrow {AH} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow {AB} \).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {{x_H} - 2;\,\,{y_H} - 1;\,\,{z_H} - 3} \right) = \dfrac{2}{3}\left( {4;4;2} \right)\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_H} - 2 = \dfrac{8}{3}\\{y_H} - 1 = \dfrac{8}{3}\\{z_H} - 3 = \dfrac{4}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_H} = \dfrac{{14}}{3}\\{y_H} = \dfrac{{11}}{3}\\{z_H} = \dfrac{{13}}{3}\end{array} \right. \Rightarrow H\left( {\dfrac{{14}}{3};\dfrac{{11}}{3};\dfrac{{13}}{3}} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Mặt phẳng chứa đường tròn đáy của hình nón đi qua \(H\left( {\dfrac{{14}}{3};\dfrac{{11}}{3};\dfrac{{13}}{3}} \right)\) và có 1 VTPT là \(\overrightarrow n = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB} = \left( {2;2;1} \right)\).

Vậy phương trình mặt phẳng chứa đường tròn đáy của hình nón:

\(2\left( {x - \dfrac{{14}}{3}} \right) + 2\left( {y - \dfrac{{11}}{3}} \right) + 1\left( {z - \dfrac{{13}}{3}} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow 2x + 2y + z - 21 = 0\).

Vậy \(b + c + d = 2 + 1 - 21 = - 18\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.