Xét hai số phức \({z_1}\), \({z_2}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1}} \right| =1, \left| {{z_2}} \right| = 2\) và
Xét hai số phức \({z_1}\), \({z_2}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1}} \right| =1, \left| {{z_2}} \right| = 2\) và \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = \sqrt 3 \). Giá trị lớn nhất của \(\left| {3{z_1} + {z_2} - 5i} \right|\) bằng:
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
- Tìm tập hợp điểm biểu diễn \({z_1},\,\,{z_2}\).
- Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là các điểm biểu diễn số phức \({z_1},\,\,{z_2}\). Chứng minh \(\Delta OMN\) vuông tại \(M\).
- Đặt \({z_3} = 3{z_1} + {z_2}\) và gọi \(P\) là điểm biểu diễn số phức \({z_3}\), chứng minh \(OM'PN\) là hình bình hành với \(\overrightarrow {OM'} = 3\overrightarrow {OM} \).
- Tính \(OP\).
- Gọi \(Q\left( {0; - 5} \right)\) là điểm biểu diễn số phức \(5i\), khi đó ta có \(\left| {3{z_1} + {z_2} - 5i} \right| = PQ\).
- Sử dụng BĐT tam giác tìm GTLN của \(PQ\).
Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là các điểm biểu diễn số phức \({z_1},\,\,{z_2}\).
Vì \(\left| {{z_1}} \right| = 1\) nên tập hợp các điểm \(M\) là đường tròn tâm \(O\) bán kính \({R_1} = 1\) \( \Rightarrow OM = 1\).
Vì \(\left| {{z_2}} \right| = 2\) nên tập hợp các điểm \(N\) là đường tròn tâm \(O\) bán kính \({R_2} = 2\) \( \Rightarrow ON = 2\).
Vì \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = \sqrt 3 \) nên \(MN = \sqrt 3 \).
Đặt \({z_3} = 3{z_1} + {z_2}\) là gọi \(P\) là điểm biểu diễn số phức \({z_3}\), khi đó ta có \(\overrightarrow {OP} = 3\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {ON} = \overrightarrow {OM'} + \overrightarrow {ON} \).
\( \Rightarrow OM'PN\) là hình bình hành.
Khi đó ta có \(O{P^2} = OM{'^2} + O{N^2} + 2OM'.ON.\cos \angle M'ON\).
Lại có \(\Delta OMN\) vuông tại \(M\) (định lí Pytago đảo) \( \Rightarrow \cos \angle MON = \dfrac{{OM}}{{ON}} = \dfrac{1}{2}\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow O{P^2} = OM{'^2} + O{N^2} + 2OM'.ON.\cos \angle M'ON\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {3^2} + {2^2} + 2.3.2.\dfrac{1}{2} = 19\\ \Rightarrow OP = \sqrt {19} \end{array}\)
Gọi \(Q\left( {0; - 5} \right)\) là điểm biểu diễn số phức \(5i\), khi đó ta có \(\left| {3{z_1} + {z_2} - 5i} \right| = PQ\).
Do đó \({\left| {3{z_1} + {z_2} - 5i} \right|_{\max }} = P{Q_{\max }}\).
Áp dụng BĐT tam giác ta có \(PQ \le OP + OQ = \sqrt {19} + 5\).
\( \Rightarrow P{Q_{\max }} = 5 + \sqrt {19} \). Dấu “=” xảy ra khi \(P,\,\,O,\,\,Q\) thẳng hàng.
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
