Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( C \right):\,\,\,{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 3}

Câu hỏi số 473979:

Vận dụng

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( C \right):\,\,\,{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 1\) và hai điểm \(A\left( {2;1;0} \right)\), \(B\left( {0;2;0} \right)\). Khi điểm \(S\) thay đổi trên mặt cầu \(\left( C \right)\), thể tích của khối chóp \(S.OAB\) có giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu?

A. 6

B. 4

C. 2

D. 1

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:473979

Phương pháp giải

- Tính \({S_{\Delta OAB}} = \dfrac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {OA} ;\overrightarrow {OB} } \right]} \right| = const\).

- Tính \({V_{S.OAB}} = \dfrac{1}{3}d\left( {S;\left( {OAB} \right)} \right).{S_{\Delta OAB}}\), từ đó suy ra \({V_{S.OAB}}\) đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi \(d\left( {S;\left( {OAB} \right)} \right)\) lớn nhất.

- Vẽ hình và suy ra vị trí của \(S\) để \(d\left( {S;\left( {OAB} \right)} \right)\) lớn nhất.

Giải chi tiết

Dễ dàng nhận thấy \(O,\,\,A,\,\,B\) đều nằm ngoài mặt cầu \(\left( C \right)\) nên \(\left( {OAB} \right)\) không cắt mặt cầu \(\left( C \right)\).

Mặt cầu \(\left( C \right)\) ta có tâm \(I\left( { - 1;3;2} \right)\), bán kính \(R = 1\).

Ta có \(\overrightarrow {OA} = \left( {2;1;0} \right),\,\,\overrightarrow {OB} = \left( {0;2;0} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {OA} ;\overrightarrow {OB} } \right] = \left( {0;0;4} \right)\)

\( \Rightarrow {S_{\Delta OAB}} = \dfrac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {OA} ;\overrightarrow {OB} } \right]} \right| = 2\) \( \Rightarrow {V_{S.OAB}} = \dfrac{1}{3}d\left( {S;\left( {OAB} \right)} \right).{S_{\Delta OAB}}\).

Vì \({S_{\Delta OAB}}\) không đổi nên \({V_{S.OAB}}\) đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi \(d\left( {S;\left( {OAB} \right)} \right)\) lớn nhất, khi đó \(d\left( {S;\left( {OAB} \right)} \right) = R + d\left( {I;\left( {OAB} \right)} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( {OAB} \right)\) nhận \(\overrightarrow n = \dfrac{1}{4}\left[ {\overrightarrow {OA} ;\overrightarrow {OB} } \right] = \left( {0;0;1} \right)\) là 1 VTPT nên có phương trình: \(z = 0\).

\( \Rightarrow d\left( {I;\left( {OAB} \right)} \right) = \left| {{z_I}} \right| = 2\) \( \Rightarrow d{\left( {S;\left( {OAB} \right)} \right)_{\max }} = 1 + 2 = 3\).

Vậy \(\max {V_{S.OAB}} = \dfrac{1}{3}.3.2 = 2\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.