Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[ {1;3} \right]\) thỏa mãn

Câu hỏi số 474991:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[ {1;3} \right]\) thỏa mãn \(f\left( 1 \right) = 2\) và \(f\left( x \right) - \left( {x + 1} \right)f'\left( x \right) = 2x{f^2}\left( x \right),\) \(\forall x \in \left[ {1;3} \right]\). Giá trị \(\int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} \) bằng

A. \(1 + \ln 3\)

B. \(\dfrac{2}{3} - \ln 3\)

C. \(\dfrac{2}{3} + \ln 3\)

D. \(1 - \ln 3\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:474991

Phương pháp giải

- Biến đổi phù hợp và sử dụng phương pháp nguyên hàm hai vế tìm \(f\left( x \right)\).

- Sử dụng giả thiết \(f\left( 1 \right) = 2\) tìm hằng số \(C\) và tính \(\int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} \).

Giải chi tiết

Ta có

\(\begin{array}{l}f\left( x \right) - \left( {x + 1} \right)f'\left( x \right) = 2x{f^2}\left( x \right)\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {x + 1} \right)'f\left( x \right) - \left( {x + 1} \right)f'\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right)}} = 2x\\ \Leftrightarrow \left( {\dfrac{{x + 1}}{{f\left( x \right)}}} \right)' = 2x\end{array}\)

Lấy nguyên hàm hai vế ta có:

\(\begin{array}{l}\int {\left( {\dfrac{{x + 1}}{{f\left( x \right)}}} \right)'dx} = \int {2xdx} \\ \Leftrightarrow \dfrac{{x + 1}}{{f\left( x \right)}} = {x^2} + C\\ \Rightarrow f\left( x \right) = \dfrac{{x + 1}}{{{x^2} + C}}\end{array}\)

Lại có \(f\left( 1 \right) = 2 \Rightarrow 2 = \dfrac{2}{{1 + C}} \Leftrightarrow C = 0\) \( \Rightarrow f\left( x \right) = \dfrac{{x + 1}}{{{x^2}}}\).

Vậy \(\int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_1^3 {\dfrac{{x + 1}}{{{x^2}}}dx} = \left. {\left( {\ln \left| x \right| - \dfrac{1}{x}} \right)} \right|_1^3 = \dfrac{2}{3} + \ln 3\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.