Cho hai số thực \(x,\,\,y\) thỏa mãn \({e^2}x - {e^x} = - \ln x + y - 2,\,\,\,\left( {x > 0} \right)\).

Câu hỏi số 474992:

Vận dụng cao

Cho hai số thực \(x,\,\,y\) thỏa mãn \({e^2}x - {e^x} = - \ln x + y - 2,\,\,\,\left( {x > 0} \right)\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \dfrac{y}{x}\) bằng

A. \(e\)

B. \(\dfrac{1}{e}\)

C. \(2 + \dfrac{1}{e}\)

D. \(2 - \dfrac{1}{e}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:474992

Phương pháp giải

- Tìm hàm đặc trưng.

- Biểu diễn \(y\) theo \(x\).

- Sử dụng phương pháp hàm số tìm GTLN của \(P\).

Giải chi tiết

Ta có

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{e^2}.x - {e^y} = - \ln x + y - 2\,\,\,\left( {x > 0} \right)\\ \Leftrightarrow {e^2}x + \ln x + 2 = {e^y} + y\\ \Leftrightarrow {e^2}x + \ln x + \ln {e^x} = {e^y} + y\\ \Leftrightarrow {e^{\ln \left( {{e^2}x} \right)}} + \ln \left( {{e^2}x} \right) = {e^y} + y\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {e^t} + t \Rightarrow f'\left( t \right) = {e^t} + 1 > 0\,\,\forall t\) nên hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Do đó \(\left( * \right) \Leftrightarrow \ln \left( {{e^2}x} \right) = y \Rightarrow y = 2 + \ln x\).

Khi đó ta có: \(P = \dfrac{y}{x} = \dfrac{{2 + \ln x}}{x} = - \dfrac{2}{x} + \dfrac{{\ln x}}{x}\).

Ta có \(P' = - \dfrac{2}{{{x^2}}} + \dfrac{{1 - \ln x}}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow \dfrac{{ - \ln x - 1}}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{e}\,\,\left( {tm} \right)\).

Vậy \({P_{\max }} = P\left( {\dfrac{1}{e}} \right) = \dfrac{{2 - 1}}{{\dfrac{1}{e}}} = e\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.