Cho hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{2}{5}{m^2}{x^5} - \dfrac{8}{3}m{x^3} - \left( {{m^2} - m - 20}

Câu hỏi số 474990:

Vận dụng

Cho hàm số $f\left( x \right) = \dfrac{2}{5}{m^2}{x^5} - \dfrac{8}{3}m{x^3} - \left( {{m^2} - m - 20} \right)x + 1$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số đã cho đồng biến trên $\mathbb{R}$?

A. 7

B. 9

C. 8

D. 10

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:474990

Phương pháp giải

- Tính $f'\left( x \right)$.

- Hàm số đã cho đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi $f'\left( x \right) \ge 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\,\,\left( * \right)$ và bằng 0 tại hữu hạn điểm.

- Đặt ${x^2} = t \ge 0$. Đưa (*) về dạng $a{t^2} + bt + c \ge 0\,\,\forall t \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta ' \le 0\end{array} \right.$.

Giải chi tiết

Ta có $f\left( x \right) = \dfrac{2}{5}{m^2}{x^5} - \dfrac{8}{3}m{x^3} - \left( {{m^2} - m - 20} \right)x + 1$

$f'(x) = 2m^2x^4 - 8mx^2 - (m^2 - m - 20)$

Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R} \Leftrightarrow f'(x) \ge 0, \forall x \in \mathbb{R}$ (và bằng 0 tại hữu hạn điểm).

Đặt $t = x^2 \ge 0$. Ta cần tìm $m$ để:

$g(t) = 2m^2t^2 - 8mt - (m^2 - m - 20) \ge 0, \forall t \ge 0$

Trường hợp 1: $m = 0$

Khi đó $g(t) = 20 > 0, \forall t \ge 0$.

Vậy $m = 0$ là một giá trị thỏa mãn.

Trường hợp 2: $m \ne 0$

Lúc này $a = 2m^2 > 0$, đồ thị hàm số $g(t)$ là một parabol có bề lõm hướng lên trên. Hoành độ đỉnh của parabol là $t_I = -\dfrac{b}{2a} = \dfrac{2}{m}$.

Để $g(t) \ge 0, \forall t \ge 0$, ta xét vị trí của đỉnh so với trục tung (so với điểm 0):

TH 2.1 Đỉnh nằm bên trái trục tung (tức là $\dfrac{2}{m} \le 0 \Leftrightarrow m < 0$)

Do $t_I < 0$ và parabol hướng lên, hàm số $g(t)$ sẽ đồng biến trên khoảng $[0, +\infty)$.

Do đó, giá trị nhỏ nhất của $g(t)$ trên $[0, +\infty)$ đạt được tại $t = 0$.

Để $g(t) \ge 0, \forall t \ge 0 \Leftrightarrow g(0) \ge 0$

$\Leftrightarrow -(m^2 - m - 20) \ge 0$

$\Leftrightarrow m^2 - m - 20 \le 0$

$\Leftrightarrow -4 \le m \le 5$

Kết hợp điều kiện $m < 0$, ta được: $-4 \le m < 0$.

TH 2.2: Đỉnh nằm bên phải trục tung (tức là $\dfrac{2}{m} > 0 \Leftrightarrow m > 0$)

Đỉnh parabol nằm trong vùng $t \ge 0$, nên giá trị nhỏ nhất của $g(t)$ chính là tung độ đỉnh.

Để $g(t) \ge 0, \forall t \ge 0 \Leftrightarrow \Delta' \le 0$

$\Leftrightarrow 16m^2 + 2m^2(m^2 - m - 20) \le 0$

$\Leftrightarrow 2m^2(m^2 - m - 12) \le 0$

Do $m > 0 \Rightarrow 2m^2 > 0$, bất phương trình tương đương:

$m^2 - m - 12 \le 0 \Leftrightarrow -3 \le m \le 4$

Kết hợp điều kiện $m > 0$, ta được: $0 < m \le 4$.

Vậy $-4 \le m \le 4$

Vì $m \in \mathbb{Z}$ nên $m \in \{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}$.

Có tất cả 9 giá trị nguyên thỏa mãn bài toán.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.