Cho \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{1}{{2{e^x} + 3}}\) thỏa

Câu hỏi số 475314:

Thông hiểu

Cho \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{1}{{2{e^x} + 3}}\) thỏa mãn \(F\left( 0 \right) = 10\). Tìm \(F\left( x \right)\).

A. \(F\left( x \right) = \dfrac{1}{3}\left( {x - \ln \left( {2{e^x} + 3} \right)} \right) + 10 + \dfrac{{\ln 5}}{3}\)

B. \(F\left( x \right) = \dfrac{1}{3}\left( {x + 10 - \ln \left( {2{e^x} + 3} \right)} \right)\)

C. \(F\left( x \right) = \dfrac{1}{3}\left( {x - \ln \left( {{e^x} + \dfrac{3}{2}} \right)} \right) + 10 + \ln 5 - \ln 2\)

D. \(F\left( x \right) = \dfrac{1}{3}\left( {x - \ln \left( {{e^x} + \dfrac{3}{2}} \right)} \right) + 10 + \dfrac{{\ln 5 - \ln 2}}{3}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:475314

Phương pháp giải

Đổi biến \(t = 2{e^x} + 3\).

Giải chi tiết

Đặt \(t = 2{e^x} + 3 \Rightarrow dt = 2{e^x}dx \Rightarrow dx = \dfrac{1}{{2{e^x}}}dt = \dfrac{1}{{t - 3}}dt\) .

\(\begin{array}{l} \Rightarrow F\left( x \right) = \int {\dfrac{{dx}}{{2{e^x} + 3}}} = \int {\dfrac{1}{{\left( {t - 3} \right)t}}dt} \\ = \dfrac{1}{3}\int {\left( {\dfrac{1}{{t - 3}} - \dfrac{1}{t}} \right)dt} = \dfrac{1}{3}\ln \left| {\dfrac{{t - 3}}{t}} \right| + C\\ = \dfrac{1}{3}\ln \dfrac{{2{e^x}}}{{2{e^x} + 3}} + C\end{array}\)

Lại có \(F\left( 0 \right) = 10 \Rightarrow \dfrac{1}{3}\ln \dfrac{2}{5} + C = 10 \Leftrightarrow C = 10 - \dfrac{1}{3}\ln \dfrac{2}{5}\).

Vậy \(F\left( x \right) = \dfrac{1}{3}\ln \dfrac{{2{e^x}}}{{2{e^x} + 3}} + 10 - \dfrac{1}{3}\ln \dfrac{2}{5} = \dfrac{1}{3}\left( {x - \ln \left( {{e^x} + \dfrac{3}{2}} \right)} \right) + 10 - \dfrac{{\ln 2 - \ln 5}}{3}\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.