Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}}

Câu hỏi số 475322:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {f\left( {\tan x} \right)dx} = 4\) và \(\int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2}f\left( x \right)}}{{{x^2} + 1}}dx} = 2\). Tính tích phân \(I = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} \).

A. \(10\)

B. \(16\)

C. \(9\)

D. \(5\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:475322

Phương pháp giải

Đối với tích phân \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {f\left( {\tan x} \right)dx} \) đổi biến \(t = \tan x\), sau đó sử dụng tính chất cộng tích phân.

Giải chi tiết

Xét \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {f\left( {\tan x} \right)dx} = 4\).

Đặt \(t = \tan x \Rightarrow dt = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx = \left( {1 + {{\tan }^2}t} \right)dx\) \( \Rightarrow dx = \dfrac{{dt}}{{1 + {{\tan }^2}x}} = \dfrac{{dt}}{{1 + {t^2}}}\).

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 0\\x = \dfrac{\pi }{4} \Rightarrow t = 1\end{array} \right.\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {f\left( {\tan x} \right)dx} = \int\limits_0^1 {f\left( t \right)\dfrac{{dt}}{{1 + {t^2}}}} = \int\limits_0^1 {\dfrac{{f\left( x \right)}}{{{x^2} + 1}}dx} \\ \Rightarrow \int\limits_0^1 {\dfrac{{f\left( x \right)}}{{{x^2} + 1}}dx} = 4\\ \Rightarrow \int\limits_0^1 {\dfrac{{f\left( x \right)}}{{{x^2} + 1}}dx} + \int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2}f\left( x \right)}}{{{x^2} + 1}}dx} = 4 + 2 = 6\\ \Rightarrow \int\limits_0^1 {\dfrac{{\left( {1 + {x^2}} \right)f\left( x \right)}}{{{x^2} + 1}}dx} = 6\\ \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = 6\end{array}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.