Chứng minh với mọi số nguyên dương \(n\), số \(A = {59^n} - {17^n} - {9^n} + {2^n}\) chia hết cho

Câu hỏi số 476071:

Vận dụng

Chứng minh với mọi số nguyên dương \(n\), số \(A = {59^n} - {17^n} - {9^n} + {2^n}\) chia hết cho \(35.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:476071

Phương pháp giải

Sử dụng đồng dư thức.

Giải chi tiết

\(A = {59^n} - {17^n} - {9^n} + {2^n}\)

Để chứng minh \(A \vdots 35\), ta sẽ chứng minh \(A \vdots 5\)và \(A \vdots 7\)

Ta thấy: \(59 \equiv 9\,(\bmod 5) \Rightarrow {59^n} \equiv {9^n}\,(\bmod 5) \Rightarrow {59^n} - {9^n} \vdots 5\,\,\,\,\)

\(17 \equiv 2\,(\bmod 5) \Rightarrow {17^n} \equiv {2^n}\,(\bmod 5) \Rightarrow {17^n} - {2^n} \vdots 5\,\,\,\,\)

Từ đó suy ra \({59^n} - {9^n} - ({17^n} - {2^n}) \vdots 5 \Rightarrow A \vdots 5\,\,\,\,(1)\)

Ta lại thấy: \(59 \equiv 17\,(\bmod 7) \Rightarrow {59^n} \equiv {17^n}\,(\bmod 7) \Rightarrow {59^n} - {17^n} \vdots 7\,\,\,\,\)

\(9 \equiv 2\,(\bmod 7) \Rightarrow {9^n} \equiv {2^n}\,(\bmod 7) \Rightarrow {9^n} - {2^n} \vdots 7\,\,\,\,\)

Từ đó suy ra: \(A \vdots 7\,\,(2)\)

Từ \((1)\) và \((2)\)suy ra \(A \vdots 35\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link