Cho tam giác \(ABC\) có ba góc nhọn và \(AB < AC\) và ba đường cao \(AD,BE,CF\) cùng đi qua điểm

Câu hỏi số 476075:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\) có ba góc nhọn và \(AB < AC\) và ba đường cao \(AD,BE,CF\) cùng đi qua điểm \(H.\) Gọi \(\left( S \right)\) là đường tròn ngoại tiếp tam giác \(DEF.\)

1) Chứng minh đường tròn \(\left( S \right)\) đi qua trung điểm của đoạn thẳng \(AH.\)

2) Gọi \(M\) và \(N\) lần lượt là giao điểm của đường tròn \(\left( S \right)\) với các đoạn thẳng \(BH\) và \(CH.\) Tiếp tuyến tại điểm \(D\)của đường tròn \(\left( S \right)\) cắt đường thẳng \(MN\) tại điểm \(T.\) Chứng minh đường thẳng \(HT\) song song với đường thẳng \(EF.\)

3) Gọi \(P\) là giao điểm của hai đường thẳng \(BH\) và \(DF,\)\(Q\) là giao điểm của hai đường thẳng \(CH\) và \(DE.\) Chứng minh ba điểm \(T,P,Q\)là ba điểm thẳng hàng.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:476075

Giải chi tiết

1) Gọi \(K\) là trung điểm của \(AH\). Ta có \(\angle EKF = 2\angle BAC\)

Lại có : \(\angle EDF = \angle EDA + \angle FDA\)\( = \angle ECF + \angle EBF = {180^0} - 2\angle BAC\)

Suy ra \(\angle EDF + \angle EKF = {180^0}\)

Suy ra \(K \in (S).\)

2) Ta có \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(BHC\) nên \(MN\) chia đôi đoạn thẳng \(DH\).

Mà \(DH \bot BC\)nên \(MN\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(DH\).

Ta thu được \(\angle THM = \angle TDM = \angle DEB = \angle DCF = \angle BEF\)

Suy ra \(TH//EF.\)

3) Do \(P,Q\) lần lượt nằm trên đoạn thẳng \(DF,DE\) nên \(P,Q\) nằm trong đường tròn \((S).\)

Gọi \(X,Y\)là giao điểm của \(PQ\) với \((S).\)

Gọi \(\left( R \right)\) là đường tròn ngoại tiếp tam giác \(BHC.\)

Ta có \(PX.PY = PF.PD = PH.PB\), suy ra \(B\) nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác \(HXY.\)

Chứng minh tương tự, ta cũng có \(C\) nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác \(HXY.\)

Ta thu được \(X,Y \in \left( R \right).\)

Mặt khác, theo câu \(2)\) ta đã chứng minh được \(\angle THM = \angle HCB\), suy ra \(HT\) là tiếp tuyến của \((R).\)

Mà \(TH = TD\) nên \(T{H^2} = T{D^2}\), suy ra \(T{R^2} - H{R^2} = T{S^2} - S{D^2}.\)

Từ đó \(T{R^2} - T{S^2} = H{R^2} - S{D^2} = S{R^2} - S{X^2}\)

Suy ra \(TX \bot SR\) nên \(T,X,Y\) thẳng hàng.

Vậy \(T,P,Q\) thẳng hàng.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link