Trên bàn có \(6\) hộp kẹo, mỗi hộp có \(5\) viên kẹo. An và Bình cùng chơi một trò chơi như

Câu hỏi số 476076:

Vận dụng

Trên bàn có \(6\) hộp kẹo, mỗi hộp có \(5\) viên kẹo. An và Bình cùng chơi một trò chơi như sau: mỗi lượt chơi, An sẽ chọn một hộp tùy ý và lấy ít nhất \(1\) viên kẹo ở trong hộp đó; còn Bình thì chọn một số hộp và trong các hộp đã chọn, mỗi hộp lấy đúng \(1\) viên kẹo. Hai bạn luân phiên thực hiện lượt chơi của mình. Bạn đầu tiên không thể thực hiện được lượt chơi của mình là người thua cuộc. Nếu An là người lấy kẹo trước, hãy chỉ ra chiến thuật chơi để Bình là người thắng cuộc.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:476076

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp quy nạp.

Giải chi tiết

Bình sẽ thực hiện chiến thuật sau: Trong bốn lượt chơi đầu tiên, vào mỗi lượt chơi, Bình sẽ chọn tất cả các hộp có số lượng bi nhiều nhất rồi lấy từ mỗi hộp đó một viên bi.

Ta có nhận xét quan trọng sau :

Nhận xét : Sau \(k\,(0 \le k \le 4)\)lượt chơi của cả An lẫn Bình, hộp bi có nhiều bi nhất có \(5 - k\)viên bi. Hơn nữa, có ít nhất \(6 - k\) hộp có \(5 - k\) viên bi.

Chứng minh : Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo \(k\). Trường hợp \(k = 0\) là hiển nhiên.

Giả sử mệnh đề đã đúng tới \(k = t\,\,\,\left( {0 \le t \le 4} \right)\), ta chứng minh nó cũng đúng với \(k = t + 1.\)

Gọi \(s\) là số hộp có \(5 - t\) viên bi sau \(t\) lượt của cả hai \(\left( {s \ge 6 - t} \right)\).

Ta thấy các hộp còn lại đã có không quá \(4 - t\) viên bi nên sau lượt thứ \(t + 1\) của Bình, các hộp này vẫn có không quá \(4 - t\) viên bi.

Trong \(s\) hộp có \(5 - t\) viên bi, An chỉ được chọn tối đa \(1\) hộp.

Nếu hộp An chọn là một trong \(s\) hộp nói trên thì sau lượt của Bình, với chiến thuật như đã nêu, \(s - 1\) hộp còn lại sẽ có đúng \(4 - t\) viên bi.

Còn nếu hộp An chọn không nằm trong \(s\) hộp nói trên thì sau lượt của Bình, với chiến thuật như đã nêu, cả \(s\) hộp sẽ có đúng \(4 - t\) viên bi.

Từ đây suy ra, số bi lớn nhất trong các hộp là \(4 - t\), và có ít nhất \(s - 1 \ge 5 - t\) hộp có số viên bi như vậy.

Vậy mệnh đề cũng đúng với \(k = t + 1\).

Áp dụng nguyên lý quy nạp, ta suy ra mệnh đề đúng với mọi \(k\) thỏa mãn \(\left( {0 \le k \le 4} \right)\).

Trở lại bài toán, ta thấy sau lượt thứ \(4\)của cả hai, chỉ còn lại các hộp có \(1\) viên bi (ít nhất \(2\)hộp).

Trong lượt tiếp theo, An chỉ được chọn \(1\) hộp. Bình chỉ cần chọn các hộp còn lại là có thể thắng trò chơi.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link