Tìm \(J = \int {{e^x}\sin xdx} \)?

Câu hỏi số 476763:

Thông hiểu

A. \(J = \dfrac{{{e^x}}}{2}\left( {\cos x - \sin x} \right) + C\)

B. \(J = \dfrac{{{e^x}}}{2}\left( {\sin x + \cos x} \right) + C\)

C. \(J = \dfrac{{{e^x}}}{2}\left( {\sin x - \cos x} \right) + C\)

D. \(J = \dfrac{{{e^x}}}{2}\left( {\sin x + \cos x + 1} \right) + C\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:476763

Phương pháp giải

- Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần, đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \sin x\\dv = {e^x}dx\end{array} \right.\).

- Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần hai lần.

Giải chi tiết

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \sin x\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \cos xdx\\v = {e^x}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow J = \int {{e^x}\sin xdx} = \sin x{e^x} - \int {\cos x{e^x}dx} = \sin x{e^x} - K\).

Xét \(K = \int {\cos x{e^x}dx} \). Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \cos x\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = - \sin xdx\\v = {e^x}\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow K = \int {\cos x{e^x}dx} = \cos x{e^x} + \int {\sin x{e^x}dx} = \cos x{e^x} + J + C\\ \Rightarrow J = \sin x{e^x} - \cos x{e^x} - J + C\\ \Leftrightarrow 2J = \left( {\sin x - \cos x} \right){e^x} + C\\ \Leftrightarrow J = \dfrac{{{x^2}}}{2}\left( {\sin x - \cos x} \right) + C\end{array}\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.