Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) thỏa mãn \(f\left( {{x^3} + 3x + 1} \right) = 3x + 2,\,\,\forall x \in

Câu hỏi số 476772:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) thỏa mãn \(f\left( {{x^3} + 3x + 1} \right) = 3x + 2,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\). Tính \(I = \int\limits_1^5 {x.f'\left( x \right)dx} \).

A. \(\dfrac{5}{4}\)

B. \(\dfrac{{17}}{4}\)

C. \(\dfrac{{33}}{4}\)

D. \( - 1761\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:476772

Phương pháp giải

- Sử dụng phương pháp tích phân từng phân, đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = f'\left( x \right)dt\end{array} \right.\).

- Tính \(J = \int\limits_1^5 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_1^5 {f\left( u \right)du} \), đổi biến \(u = {x^3} + 3x + 1\) và thay \(f\left( {{x^3} + 3x + 1} \right) = 3x + 2\).

Giải chi tiết

\(I = \int\limits_1^5 {x.f'\left( x \right)dx} \)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = f'\left( x \right)dt\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = f\left( x \right)\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow I = \left. {xf\left( x \right)} \right|_1^5 - \int\limits_1^5 {f\left( x \right)dx} = 5f\left( 5 \right) - f\left( 1 \right) - J\).

+ Có \(f\left( {{x^3} + 3x + 1} \right) = 3x + 2,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).

Cho \(x = 0 \Rightarrow f\left( 1 \right) = 2\).

Cho \(x = 1 \Rightarrow f\left( 5 \right) = 5\).

\( \Rightarrow I = 23 - J\).

Xét \(J = \int\limits_1^5 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_1^5 {f\left( u \right)du} \).

Đặt \(u = {x^3} + 3x + 1 \Rightarrow du = \left( {3{x^2} + 3} \right)dx\).

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}u = 1 \Rightarrow x = 0\\u = 5 \Rightarrow x = 1\end{array} \right.\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow J = \int\limits_0^1 {f\left( {{x^3} + 3x + 1} \right).\left( {3{x^2} + 3} \right)dx} \\ \Rightarrow J = \int\limits_0^1 {\left( {3x + 2} \right).\left( {3{x^2} + 3} \right)dx} \\ \Rightarrow J = \int\limits_0^1 {\left( {9{x^3} + 6{x^2} + 9x + 6} \right)dx} \\ \Rightarrow J = \dfrac{{59}}{4}\end{array}\)

Vậy \(I = 23 - J = 23 - \dfrac{{59}}{4} = \dfrac{{33}}{4}\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.