Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) là hàm số chẵn và liên tục trên \(\mathbb{R}\), biết đồ thị

Câu hỏi số 476771:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) là hàm số chẵn và liên tục trên \(\mathbb{R}\), biết đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) đi qua điểm \(M\left( { - \dfrac{1}{2};4} \right)\) và \(\int\limits_0^{\frac{1}{2}} {f\left( t \right)dt} = 3\), tính \(\int\limits_{ - \frac{{7\pi }}{6}}^0 {\sin 2xf'\left( {\sin x} \right)dx} \).

A. \(10\)

B. \(2\)

C. \(1\)

D. \( - 1\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:476771

Phương pháp giải

- Từ \(\int\limits_1^2 {f\left( {2x - 4} \right)dx} = 1\), đưa vi phân vào biến và tính \(\int\limits_{ - 2}^0 {f\left( x \right)dx} \).

- Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần, đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \cos x\\dv = f'\left( x \right)dx\end{array} \right.\).

Giải chi tiết

Ta có: \(I = \int\limits_{ - \frac{{7\pi }}{6}}^0 {\sin 2xf'\left( {\sin x} \right)dx} = 2\int\limits_{ - \frac{{7\pi }}{6}}^0 {\sin x\cos xf'\left( {\sin x} \right)dx} \).

Đặt \(t = \sin x \Rightarrow dt = \cos xdx\). Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = - \dfrac{{7\pi }}{6} \Rightarrow t = \dfrac{1}{2}\\x = 0 \Rightarrow t = 0\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow I = 2\int\limits_{\frac{1}{2}}^0 {tf'\left( t \right)dt} \).

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = t\\dv = f'\left( t \right)dt\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dt\\v = f\left( t \right)\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow I = \left. {2tf\left( t \right)} \right|_{\frac{1}{2}}^0 - 2\int\limits_{\frac{1}{2}}^0 {f\left( t \right)dt} = - f\left( {\dfrac{1}{2}} \right) + 2\int\limits_0^{\frac{1}{2}} {f\left( x \right)dx} \).

+ Đồ thị hàm số đi qua điểm \(M\left( { - \dfrac{1}{2};4} \right)\) nên \(f\left( { - \dfrac{1}{2}} \right) = 4\).

+ Hàm số là hàm số chẵn \( \Rightarrow f\left( {\dfrac{1}{2}} \right) = f\left( { - \dfrac{1}{2}} \right) = 4\).

\( \Rightarrow I = - 4 + 2.3 = 2\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.