Cho hai đường thẳng \(x'x,\,\,y'y\) chéo nhau và vuông góc với nhau. Trên \(x'x\) lấy cố định

Câu hỏi số 478603:

Vận dụng cao

Cho hai đường thẳng \(x'x,\,\,y'y\) chéo nhau và vuông góc với nhau. Trên \(x'x\) lấy cố định điểm \(A\), trên \(y'y\) lấy cố định điểm \(B\) sao cho \(AB\) cùng vuông góc với \(Ax,\,\,By\) và \(AB = 2020\,\,cm\). Gọi \(C,\,\,D\) là hai điểm lần lượt di chuyển trên hai tia \(Ax,\,\,By\) sao cho \(AC + BD = CD\). Hỏi bán kính \(R\) của mặt cầu \(\left( S \right)\) ngoại tiếp tứ diện \(ABCD\) có giá trị nhỏ nhất thuộc khoảng nào sau đây?

A. \(\left( {1009;1011} \right)\)

B. \(\left( {1427;1429} \right)\)

C. \(\left( {2855;2857} \right)\)

D. \(\left( {2019;2021} \right)\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:478603

Phương pháp giải

- Đặt \(AC = x,\,\,BD = y\,\,\left( {x,y > 0} \right) \Rightarrow CD = x + y\).

- Sử dụng định lí Pytago tìm \(xy\).

- Gọi \(I\) là trung điểm của \(CD\). Chứng minh \(I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(ABCD\).

- Áp dụng BĐT Cô-si.

Giải chi tiết

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AC \bot BD\\AC \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow AC \bot \left( {ABD} \right)\).

Đặt \(AC = x,\,\,BD = y\,\,\left( {x,y > 0} \right) \Rightarrow CD = x + y\).

Áp dụng định lí Pytago ta có:

\(\begin{array}{l}A{D^2} = {2020^2} + {y^2}\\C{D^2} = A{C^2} + A{D^2}\\ \Rightarrow {\left( {x + y} \right)^2} = {x^2} + {2020^2} + {y^2}\\ \Rightarrow xy = \dfrac{{{{2020}^2}}}{2}\end{array}\)

Gọi \(I\) là trung điểm của \(CD\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AB\\BD \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow BD \bot BC\).

Vì \(\Delta ACD,\,\,\Delta BCD\) là các tam giác vuông tại \(A,\,\,B\) nên \(IA = IB = \dfrac{1}{2}CD = IC = ID\) \( \Rightarrow I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp \(ABCD\), bán kính \(R = \dfrac{1}{2}CD\).

Ta có \(R = \dfrac{1}{2}CD = \dfrac{{x + y}}{2} \ge \sqrt {xy} = \sqrt {\dfrac{{{{2020}^2}}}{2}} \approx 1428,355\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.