Gọi \(S\)tập hợp các giá trị \(m\) để đồ thị hàm số \(y = {x^4} - 2{m^2}{x^2} + 1\) có \(3\)

Câu hỏi số 479221:

Thông hiểu

Gọi \(S\)tập hợp các giá trị \(m\) để đồ thị hàm số \(y = {x^4} - 2{m^2}{x^2} + 1\) có \(3\) điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân. Tổng bình phương các phần tử của \(S\)bằng

A. \(2\).

B. \(4\).

C. \(8\)

D. \(6\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:479221

Phương pháp giải

- Giải phương trình \(y' = 0\), từ đó tìm ba điểm cực trị của hàm số.

- Sử dụng: Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0\).

Giải chi tiết

Ta có \(y = {x^4} - 2{m^2}{x^2} + 1 \Rightarrow y' = 4{x^3} - 4{m^2}x\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} - 4{m^2}x = 0 \Leftrightarrow 4x\left( {{x^2} - {m^2}} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = {m^2}\end{array} \right.\).

Để hàm số có 3 điểm cực trị thì phương trình \(y' = 0\) phải có 3 nghiệm phân biệt \( \Rightarrow m \ne 0\).

Khi đó ta có \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow y = 1\\x = m \Rightarrow y = - {m^4} + 1\\x = - m \Rightarrow y = - {m^4} + 1\end{array} \right.\).

Suy ra các điểm cực trị của hàm số đã cho là: \(A\left( {0;1} \right);\,\,B\left( {m; - {m^4} + 1} \right);\,\,C\left( { - m; - {m^4} + 1} \right)\).

Vì \(A \in Oy,\,\,B,\,\,C\) đối xứng nhau qua \(Oy\) nên \(\Delta ABC\) cân tại \(A\), do đó để \(ABC\) là tam giác vuông thì phải vuông tại \(A\) \( \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = \left( {m; - {m^4}} \right)\\\overrightarrow {AC} = \left( { - m; - {m^4}} \right)\end{array} \right.\). \( \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0 \Leftrightarrow - {m^2} + {m^8} = 0 \Leftrightarrow {m^2}\left( {{m^6} - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = \pm 1\end{array} \right.\)

Có ABC là tam giác vuông cân tại A nên \(BC = AB\sqrt 2 \Rightarrow 4{m^2} = 2\left( {{m^2} + {m^8}} \right) \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\,\,\left( {ktm} \right)\\m = \pm 1\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\).

Vậy \(S = \left\{ { - 1;1} \right\} \Rightarrow \) Tổng bình phương các phần tử của \(S\)bằng 2.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.