Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như hình bên. Phương trình \(2f\left(

Câu hỏi số 479223:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như hình bên.

Phương trình \(2f\left( {\dfrac{{\sin x + \cos x}}{{\sqrt 2 }}} \right) + 3 = 0\) có bao nhiêu nghiệm trên \(\left[ {\dfrac{{ - 3\pi }}{4}\,;\,\dfrac{{7\pi }}{4}} \right]\)

A. \(3\)

B. \(4\)

C. \(5\)

D. \(6\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:479223

Phương pháp giải

- Đặt \(t = \dfrac{{\sin x + \cos x}}{{\sqrt 2 }}\), tìm điều kiện của \(t\) ứng với \(x \in \left[ {\dfrac{{ - 3\pi }}{4}\,;\,\dfrac{{7\pi }}{4}} \right]\).

- Sử dụng tương giao để tìm số nghiệm của phương trình.

Giải chi tiết

Đặt \(t = \dfrac{{\sin x + \cos x}}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{\sqrt 2 \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right)}}{{\sqrt 2 }} = \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right)\).

Với \(x \in \left[ {\dfrac{{ - 3\pi }}{4}\,;\,\dfrac{{7\pi }}{4}} \right] \Rightarrow x + \dfrac{\pi }{4} \in \left[ { - \dfrac{\pi }{2};2\pi } \right] \Rightarrow t \in \left[ { - 1;1} \right]\).

Khi đó phương trình trở thành \(2f\left( t \right) + 3 = 0 \Leftrightarrow f\left( t \right) = - \dfrac{3}{2}\).

Dựa vào BBT ta thấy đường thẳng \(y = - \dfrac{3}{2}\) cắt đồ thị hàm số \(y = f\left( t \right)\) tại 2 điểm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}x = t < - 1\\x = t \in \left( { - 1;0} \right)\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow f\left( t \right) = - \dfrac{3}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = a < - 1\\t = b \in \left( { - 1;0} \right)\end{array} \right.\).

Ta có đồ thị hàm số \(t = \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right)\) trên \(\left[ { - \dfrac{\pi }{2};2\pi } \right]\) như sau:

Dựa vào đồ thị ta thấy, phương trình \(t = a\) vô nghiệm, phương trình \(t = b\) có 3 nghiệm phân biệt.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.