Cho phương trình \({x^2} - \left( {m - 1} \right)x - {m^2} + m - 2 = 0\,\,\left( 1 \right)\,\,\) (\(m\) là tham

Câu hỏi số 479265:

Vận dụng cao

Cho phương trình \({x^2} - \left( {m - 1} \right)x - {m^2} + m - 2 = 0\,\,\left( 1 \right)\,\,\) (\(m\) là tham số). Gọi \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \(\left( 1 \right)\), tìm \(m\) để \(Q = {\left( {\dfrac{{{x_1}}}{{{x_2}}}} \right)^3} + {\left( {\dfrac{{{x_2}}}{{{x_1}}}} \right)^3}\) đạt giá trị lớn nhất.

A. \(m=1\)

B. \(m=2\)

C. \(m=-1\)

D. \(m=-2\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:479265

Phương pháp giải

Sử dụng định lý Vi-et kết hợp ứng dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai để tìm GTLN

Giải chi tiết

Phương trình (1) có nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta = {\left( {m - 1} \right)^2} - 4\left( { - {m^2} + m - 2} \right) \ge 0\) \( \Leftrightarrow 5{m^2} - 6m + 9 \ge 0\)

Điều này đúng với mọi \(m\) do \(5{m^2} - 6m + 9 = 4{m^2} + {\left( {m - 3} \right)^2} \ge 0\,\,\forall m\).

Theo hệ thức Vi – et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m - 1\\{x_1}{x_2} = - {m^2} + m - 2\end{array} \right.\).

Ta thấy: \({x_1}{x_2} = - {m^2} + m - 2 = - {\left( {m - \dfrac{1}{2}} \right)^2} - \dfrac{7}{4} < 0\) nên \({x_1},{x_2} \ne 0\), vậy biểu thức \(Q\) được xác định.

Khi đó: \(Q = {\left( {\dfrac{{{x_1}}}{{{x_2}}} + \dfrac{{{x_2}}}{{{x_1}}}} \right)^3} - 3\left( {\dfrac{{{x_1}}}{{{x_2}}} + \dfrac{{{x_2}}}{{{x_1}}}} \right).\dfrac{{{x_1}}}{{{x_2}}}.\dfrac{{{x_2}}}{{{x_1}}}\)

Xét \(t = \dfrac{{{x_1}}}{{{x_2}}} + \dfrac{{{x_2}}}{{{x_1}}} = \dfrac{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}}}{{{x_1}{x_2}}} = \dfrac{{3{m^2} - 4m + 5}}{{ - {m^2} + m - 2}}\)

\( \Rightarrow \left( {t + 3} \right){m^2} - \left( {t + 4} \right)m + 2t + 5 = 0\left( 2 \right)\)

Điều kiện tồn tại \(m\) là: \({\left( {t + 4} \right)^2} - 4\left( {t + 3} \right)\left( {2t + 5} \right) \ge 0\) \( \Leftrightarrow \left( {7t + 22} \right)\left( {t + 2} \right) \le 0\) \( \Leftrightarrow - \dfrac{{22}}{7} \le t \le - 2\)

Do đó: \(Q = {t^3} - 3t = - 2 + {\left( {t - 1} \right)^2}\left( {t + 2} \right) \le - 2\,\,\,\,\left( {do\,\,t \le - 2} \right)\)

Vậy \(Max\,Q = - 2\,\), dấu bằng xảy ra khi \(m = 1\).

Đáp án cần chọn là: A

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link