Cho phương trình \({x^2} - \left( {m - 1} \right)x - {m^2} + m - 2 = 0\,\,\left( 1 \right)\,\,\) (\(m\) là tham

Câu hỏi số 479265:

Vận dụng cao

Cho phương trình \({x^2} - \left( {m - 1} \right)x - {m^2} + m - 2 = 0\,\,\left( 1 \right)\,\,\) (\(m\) là tham số). Gọi \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \(\left( 1 \right)\), tìm \(m\) để \(Q = {\left( {\dfrac{{{x_1}}}{{{x_2}}}} \right)^3} + {\left( {\dfrac{{{x_2}}}{{{x_1}}}} \right)^3}\) đạt giá trị lớn nhất.

A. \(m=1\)

B. \(m=2\)

C. \(m=-1\)

D. \(m=-2\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:479265

Phương pháp giải

Sử dụng định lý Vi-et kết hợp ứng dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai để tìm GTLN

Giải chi tiết

Phương trình (1) có nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta = {\left( {m - 1} \right)^2} - 4\left( { - {m^2} + m - 2} \right) \ge 0\) \( \Leftrightarrow 5{m^2} - 6m + 9 \ge 0\)

Điều này đúng với mọi \(m\) do \(5{m^2} - 6m + 9 = 4{m^2} + {\left( {m - 3} \right)^2} \ge 0\,\,\forall m\).

Theo hệ thức Vi – et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m - 1\\{x_1}{x_2} = - {m^2} + m - 2\end{array} \right.\).

Ta thấy: \({x_1}{x_2} = - {m^2} + m - 2 = - {\left( {m - \dfrac{1}{2}} \right)^2} - \dfrac{7}{4} < 0\) nên \({x_1},{x_2} \ne 0\), vậy biểu thức \(Q\) được xác định.

Khi đó: \(Q = {\left( {\dfrac{{{x_1}}}{{{x_2}}} + \dfrac{{{x_2}}}{{{x_1}}}} \right)^3} - 3\left( {\dfrac{{{x_1}}}{{{x_2}}} + \dfrac{{{x_2}}}{{{x_1}}}} \right).\dfrac{{{x_1}}}{{{x_2}}}.\dfrac{{{x_2}}}{{{x_1}}}\)

Xét \(t = \dfrac{{{x_1}}}{{{x_2}}} + \dfrac{{{x_2}}}{{{x_1}}} = \dfrac{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}}}{{{x_1}{x_2}}} = \dfrac{{3{m^2} - 4m + 5}}{{ - {m^2} + m - 2}}\)

\( \Rightarrow \left( {t + 3} \right){m^2} - \left( {t + 4} \right)m + 2t + 5 = 0\left( 2 \right)\)

Điều kiện tồn tại \(m\) là: \({\left( {t + 4} \right)^2} - 4\left( {t + 3} \right)\left( {2t + 5} \right) \ge 0\) \( \Leftrightarrow \left( {7t + 22} \right)\left( {t + 2} \right) \le 0\) \( \Leftrightarrow - \dfrac{{22}}{7} \le t \le - 2\)

Do đó: \(Q = {t^3} - 3t = - 2 + {\left( {t - 1} \right)^2}\left( {t + 2} \right) \le - 2\,\,\,\,\left( {do\,\,t \le - 2} \right)\)

Vậy \(Max\,Q = - 2\,\), dấu bằng xảy ra khi \(m = 1\).

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link