Cho \(a,b,c\) là các số thực không âm thỏa mãn \(a + b + c = 3.\)Tìm giá trị nhỏ nhất của \(T =

Câu hỏi số 479266:

Vận dụng cao

Cho \(a,b,c\) là các số thực không âm thỏa mãn \(a + b + c = 3.\)Tìm giá trị nhỏ nhất của \(T = {\left( {a - 1} \right)^3} + {\left( {b - 1} \right)^3} + {\left( {c - 1} \right)^3}.\)

A. \(1\)

B. \(\dfrac{1}{2}\)

C. \( - \dfrac{1}{2}\)

D. \( - \dfrac{3}{4}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:479266

Phương pháp giải

Sử dụng hằng đẳng thức lớp 8: \({x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz = \left( {x + y + z} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - zx} \right)\)

Giải chi tiết

Ta thấy: \({x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz\) \( = \left( {x + y + z} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - zx} \right)\), do đó nếu \(x + y + z = 0\) thì \({x^3} + {y^3} + {z^3} = 3xyz\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}a - 1 = x\\b - 1 = y\\c - 1 = z\end{array} \right. \Rightarrow x + y + z = 0\)

Khi đó \(T = {x^3} + {y^3} + {z^3} = 3xyz\)

\(\begin{array}{l}T = 3\left( {a - 1} \right)\left( {b - 1} \right)\left( {c - 1} \right)\\T = 3abc - 3\left( {ab + bc + ca} \right) + 3\left( {a + b + c} \right) - 3\\T = 3ab\left( {c - 1} \right) - 3c\left( {a + b} \right) + 3\left( {a + b + c} \right) - 3\\T = 3ab\left( {c - 1} \right) - 3c\left( {a + b} \right) + 6\end{array}\)

Không mất tính tổng quát, ta giả sử: \(c = \min \left\{ {a,b,c} \right\}\), giả thiết suy ra \(0 \le c \le 1\).

Khi đó , sử dụng: \(ab \le \dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{4},\)\(c - 1 \le 0\) ta có:

\(\begin{array}{l}T \ge \dfrac{3}{4}{\left( {a + b} \right)^2}\left( {c - 1} \right) - 3c\left( {3 - c} \right) + 6\\ = \dfrac{3}{4}{\left( {3 - c} \right)^2}\left( {c - 1} \right) - 3c\left( {3 - c} \right) + 6\\ = \dfrac{{3c}}{4}\left[ {{c^2} + 3\left( {1 - c} \right)} \right] - \dfrac{3}{4} \ge - \dfrac{3}{4}\end{array}\)

Với \(Min\,\,T = - \dfrac{3}{4}\), dấu bằng xảy ra khi \(a = b = \dfrac{3}{2},c = 0\) và các hoán vị.

Đáp án cần chọn là: D

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link