Cho \(a,b,c\) là các số thực không âm thỏa mãn \(a + b + c = 3.\)Tìm giá trị nhỏ nhất của \(T =

Câu hỏi số 479266:

Vận dụng cao

Cho \(a,b,c\) là các số thực không âm thỏa mãn \(a + b + c = 3.\)Tìm giá trị nhỏ nhất của \(T = {\left( {a - 1} \right)^3} + {\left( {b - 1} \right)^3} + {\left( {c - 1} \right)^3}.\)

A. \(1\)

B. \(\dfrac{1}{2}\)

C. \( - \dfrac{1}{2}\)

D. \( - \dfrac{3}{4}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:479266

Phương pháp giải

Sử dụng hằng đẳng thức lớp 8: \({x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz = \left( {x + y + z} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - zx} \right)\)

Giải chi tiết

Ta thấy: \({x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz\) \( = \left( {x + y + z} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - zx} \right)\), do đó nếu \(x + y + z = 0\) thì \({x^3} + {y^3} + {z^3} = 3xyz\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}a - 1 = x\\b - 1 = y\\c - 1 = z\end{array} \right. \Rightarrow x + y + z = 0\)

Khi đó \(T = {x^3} + {y^3} + {z^3} = 3xyz\)

\(\begin{array}{l}T = 3\left( {a - 1} \right)\left( {b - 1} \right)\left( {c - 1} \right)\\T = 3abc - 3\left( {ab + bc + ca} \right) + 3\left( {a + b + c} \right) - 3\\T = 3ab\left( {c - 1} \right) - 3c\left( {a + b} \right) + 3\left( {a + b + c} \right) - 3\\T = 3ab\left( {c - 1} \right) - 3c\left( {a + b} \right) + 6\end{array}\)

Không mất tính tổng quát, ta giả sử: \(c = \min \left\{ {a,b,c} \right\}\), giả thiết suy ra \(0 \le c \le 1\).

Khi đó , sử dụng: \(ab \le \dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{4},\)\(c - 1 \le 0\) ta có:

\(\begin{array}{l}T \ge \dfrac{3}{4}{\left( {a + b} \right)^2}\left( {c - 1} \right) - 3c\left( {3 - c} \right) + 6\\ = \dfrac{3}{4}{\left( {3 - c} \right)^2}\left( {c - 1} \right) - 3c\left( {3 - c} \right) + 6\\ = \dfrac{{3c}}{4}\left[ {{c^2} + 3\left( {1 - c} \right)} \right] - \dfrac{3}{4} \ge - \dfrac{3}{4}\end{array}\)

Với \(Min\,\,T = - \dfrac{3}{4}\), dấu bằng xảy ra khi \(a = b = \dfrac{3}{2},c = 0\) và các hoán vị.

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link