Cho tam giác đều \(ABC\) cố định nội tiếp đường tròn \(\left( O \right).\) Đường thẳng \(d\)

Câu hỏi số 479268:

Vận dụng

Cho tam giác đều \(ABC\) cố định nội tiếp đường tròn \(\left( O \right).\) Đường thẳng \(d\) thay đổi nhưng luôn đi qua \(A\) và cắt cung nhỏ \(AB\) tại \(E\) (\(E\) không trùng với \(A,B).\) Đường thẳng \(d\) cắt hai tiếp tuyến tại \(B\) và \(C\) của đường tròn \(\left( O \right)\) lần lượt tại \(M\)và \(N.\) Gọi \(F\) là giao điểm của \(MC\) và \(BN.\) Chứng minh rằng:

a) \(\Delta CAN \sim \Delta BMA,\,\,\Delta MBC \sim \Delta BCN\)

b) Bốn điểm \(B,M,E,F\) cùng nằm trên một đường tròn

c) Đường thẳng \(EF\) luôn đi qua một điểm cố định khi đường thẳng \(d\) thay đổi.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:479268

Phương pháp giải

a) Sử dụng các tính chất cơ bản về góc (góc nội tiếp, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung…)

b) Chứng minh hai góc \(\angle MEB,\,\,\angle MFB\) bằng nhau.

c) Dự đoán điểm cố định. Sau đó sử dụng so sánh trung gian.

Giải chi tiết

a) \(\Delta CAN \sim \Delta BMA,\,\,\Delta MBC \sim \Delta BCN\)

Xét \(\Delta CAN\) và \(\Delta BMA\) có:

\(\begin{array}{l}\angle CAN = \angle BMA\,\,\,\left( {do\,\,AB\,{\rm{//}}\,CN} \right)\\\angle CNA = \angle BAM\,\,\,\left( {do\,\,AB{\rm{ // }}CN} \right)\\ \Rightarrow \Delta CAN \sim \Delta BMA\,\,\,\left( {g - g} \right)\end{array}\)

Xét \(\Delta MBC\) và \(\Delta BCN\) có:

\(\angle MBC = \angle BCN = {120^0}\)

\(\dfrac{{MB}}{{BC}} = \dfrac{{MB}}{{AC}} = \dfrac{{AB}}{{NC}} = \dfrac{{BC}}{{NC}}\)

\( \Rightarrow \Delta MBC \sim \Delta BCN\,\,\,\left( {c - g - c} \right).\)

b) Bốn điểm \(B,M,E,F\)cùng nằm trên một đường tròn

Ta có: \(\angle MFB = \angle CFN = 180^\circ - \angle FCN - \angle FNC\)\( = 180^\circ - \angle FCN - \angle MCB\)\( = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \)

Ta cũng có: \(\angle MEB = 180^\circ - \angle AEB = \angle ACB = {60^0}\)

Do đó \(\angle MFB = \angle MEB\)\( \Rightarrow B,M,E,F\) cùng nằm trên một đường tròn.

c) Đường thẳng \(EF\)luôn đi qua một điểm cố định khi đường thẳng \(d\) thay đổi.

Gọi giao điểm của đường thẳng \(EF\) và \(BC\) là \(I\)

Xét \(\Delta BEI\) và \(\Delta FBI\) có:

\(\angle FIB\) chung

\(\angle FBI = \angle BEI\) (cùng bằng \(\angle BMF\))

Suy ra \(\Delta BEI \sim \Delta FBI\)\( \Rightarrow \dfrac{{BI}}{{FI}} = \dfrac{{EI}}{{BI}}\)\( \Rightarrow I{B^2} = IF.IE\)

Tương tự ta có \(I{C^2} = IF.IE\)

Suy ra \(IB = IC\)\( \Rightarrow I\) là trung điểm của \(BC\) cố định.

Vậy đường thẳng \(EF\) luôn đi qua \(I\) cố định là trung điểm của \(BC\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link