Tìm tất cả các số nguyên dương \(n\) sao cho \(M = n{.4^n} + {3^n}\) chia hết cho \(7\).

Câu hỏi số 479267:

Vận dụng cao

A. \(n = 14t + 1\) và \(n = 14t + 8\) với \(t \in \mathbb{N}\)

B. \(n = 14t + 2\) và \(n = 14t + 8\) với \(t \in \mathbb{N}\)

C. \(n = 14t + 1\) và \(n = 14t + 6\) với \(t \in \mathbb{N}\)

D. \(n = 14t + 2\) và \(n = 14t + 6\) với \(t \in \mathbb{N}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:479267

Phương pháp giải

Sử dụng tính chất: \(\left( {{a^n} - {b^n}} \right) \vdots \left( {a - b} \right)\) với \(a,\,\,b,\,\,\,n \in \mathbb{N}.\)

Giải chi tiết

Giả sử \(M \vdots 7\)

Nếu \(n = 2k\) \( \Rightarrow M = 2k{.4^{2k}} + {3^{2k}}\) \( = \left( {2k + 1} \right){.2^{4k}} - \left( {{4^{2k}} - {3^{2k}}} \right)\)

Vì \(\left( {{4^{2k}} - {3^{2k}}} \right) = \left( {{{16}^k} - {9^k}} \right)\,\, \vdots \,\,7\) \( \Rightarrow \left( {2k + 1} \right){.2^{4k}}\,\, \vdots \,\,7\).

Mà \(\left( {{2^{4k}},7} \right) = 1\) \( \Rightarrow 2k + 1 = 7m\)

Suy ra \(m\) lẻ, đặt \(m = 2t + 1\) \( \Rightarrow 2k + 1 = 7\left( {2t + 1} \right)\) \( \Rightarrow 2k = 14t + 6\)

Do đó, \(n = 14t + 6\left( {t \in \mathbb{N}} \right)\). Thử lại ta có:

\(M = \left( {14t + 6} \right){.4^{14t + 6}} + {3^{14t + 6}}\) \( = \left( {14t + 7} \right){.4^{14t + 6}} - \left( {{{16}^{7t + 3}} - {9^{7t + 3}}} \right)\,\, \vdots \,\,7\)

Nếu \(n = 2k + 1\) \( \Rightarrow M = \left( {2k + 1} \right){.4^{2k + 1}} + {3^{2k + 1}}\) \( = 2k{.4^{2k + 1}} + \left( {{4^{2k + 1}} + {3^{2k + 1}}} \right)\).

Vì \({4^{2k + 1}} + {3^{2k + 1}}\) chia hết cho 7 nên \(2k{.4^{2k + 1}} \vdots 7.\)

Mà \(\left( {{2^{4k + 3}},7} \right) = 1\) nên \(k \vdots 7 \Rightarrow k = 7t\).

Do đó \(n = 14t + 1,t \in \mathbb{N}\). Thử lại ta có:

\(M = \left( {14t + 1} \right){.4^{14t + 1}} + {3^{14t + 1}}\) \( = 14t{.14^{14t + 1}} + \left( {{4^{14t + 1}} + {3^{14t + 1}}} \right)\,\, \vdots \,\,7\)

Vậy các số nguyên dương \(n\) thỏa mãn \(M = n{.4^n} + {3^n}\) chia hết cho \(7\) là \(n = 14t + 1\) và \(n = 14t + 6\) với \(t \in \mathbb{N}\).

Đáp án cần chọn là: C

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link