Số giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số \(y = {x^3} - m{x^2} + \left( {m - 6} \right)x + 1\)

Câu hỏi số 479723:

Vận dụng

Số giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số \(y = {x^3} - m{x^2} + \left( {m - 6} \right)x + 1\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\) là:

A. \(3\)

B. \(4\)

C. \(5\)

D. \(2\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:479723

Phương pháp giải

- Hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left( {a;b} \right)\) khi và chỉ khi \(f'\left( x \right) \le 0\,\,\forall x \in \left( {a;b} \right)\) và bằng 0 tại hữu hạn điểm.

- Sử dụng định lí Vi-ét.

Giải chi tiết

Ta có: \(y = {x^3} - m{x^2} + \left( {m - 6} \right)x + 1 \Rightarrow y' = 3{x^2} - 2mx + m - 6\).

Để hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\) thì \(y' \le 0\,\,\forall x \in \left( {0;2} \right)\) và bằng 0 tại hữu hạn điểm.

\( \Rightarrow 3{x^2} - 2mx + m - 6 \le 0\,\,\forall x \in \left( {0;2} \right)\).

Ta có \(\Delta ' = {m^2} - 3\left( {m - 6} \right) = {m^2} - 3m + 18 > 0\,\,\forall m\) nên phương trình \(3{x^2} - 2mx + m - 6 = 0\) có 2 nghiệm phân biệt \({x_1} < {x_2}\). Khi đó ta có \(3{x^2} - 2mx + m - 6 \le 0 \Leftrightarrow x \in \left( {{x_1};{x_2}} \right)\).

Do đó để \(3{x^2} - 2mx + m - 6 \le 0\,\,\forall x \in \left( {0;2} \right)\) thì \(\left( {0;2} \right) \subset \left( {{x_1};{x_2}} \right) \Rightarrow {x_1} \le 0 < 2 \le {x_2}\).

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{x_1} \le 0 < {x_2}\\{x_1} < 2 \le {x_2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1}{x_2} \le 0\\\left( {{x_1} - 2} \right)\left( {{x_2} - 2} \right) \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{m - 6}}{3} \le 0\\\dfrac{{m - 6}}{3} - 2.\dfrac{{2m}}{3} + 4 \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le 6\\m - 6 - 4m + 12 \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le 6\\ - 3m + 6 \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 2 \le m \le 6\end{array}\)

Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ {2;3;4;5;6} \right\}\).

Vậy có 5 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.