Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,3x + 4y + 5z + 8 = 0\).

Câu hỏi số 479725:

Vận dụng

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,3x + 4y + 5z + 8 = 0\). Đường thẳng \(d\) là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right):\,\,x - 2y + 1 = 0\) và \(\left( \beta \right):\,\,x - 2z - 3 = 0\). Gọi \(\varphi \) là góc giữa \(d\) và\(\left( P \right)\), tính \(\varphi \).

A. \(\varphi = {45^0}\)

B. \(\varphi = {30^0}\)

C. \(\varphi = {90^0}\)

D. \(\varphi = {60^0}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:479725

Phương pháp giải

- Xét hệ \(\left\{ \begin{array}{l}\left( \alpha \right)\\\left( \beta \right)\end{array} \right.\) để tìm phương trình đường thẳng \(d\).

- Gọi \(\varphi \) là góc giữa \(d\) và \(\left( P \right)\) thì \(\sin \varphi = \cos \angle \left( {\overrightarrow {{u_d}} ;\overrightarrow {{n_P}} } \right) = \dfrac{{\overrightarrow {{u_d}} .\overrightarrow {{n_P}} }}{{\left| {\overrightarrow {{u_d}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_P}} } \right|}}\).

Giải chi tiết

Xét hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y + 1 = 0\\x - 2z - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}z = t\\x = 3 + 2t\\y = \dfrac{{x + 1}}{2} = 2 + t\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow \) Phương trình đường thẳng \(d = \left( \alpha \right) \cap \left( \beta \right)\) là \(d:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 2t\\y = 2 + t\\z = t\end{array} \right.\), do đó \(d\) có 1 VTCP là \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {2;1;1} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,3x + 4y + 5z + 8 = 0\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {3;4;5} \right)\).

Khi đó ta có: \(\sin \varphi = \cos \angle \left( {\overrightarrow {{u_d}} ;\overrightarrow {{n_P}} } \right) = \dfrac{{\overrightarrow {{u_d}} .\overrightarrow {{n_P}} }}{{\left| {\overrightarrow {{u_d}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_P}} } \right|}} = \dfrac{{2.3 + 1.4 + 1.5}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}} .\sqrt {{3^2} + {4^2} + {5^2}} }} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Vậy \(\varphi = {60^0}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.