Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số \(y = mx + \left( {m + 1}

Câu hỏi số 479738:

Vận dụng

Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số \(y = mx + \left( {m + 1} \right)\sqrt {x - 2} \) nghịch biến trên \(D = \left( {2; + \infty } \right)\) là:

A. \( - 2 \le m \le 1\)

B. \(m \le - 1\)

C. \(m < - 1\)

D. \(m \le 0\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:479738

Phương pháp giải

- Hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left( {0;2} \right)\) khi và chỉ khi \(f'\left( x \right) \le 0\,\,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)\) và bằng 0 tại hữu hạn điểm.

- Cô lập \(m\), đưa bất phương trình về dạng \(m \le g\left( x \right)\,\,\forall x \in \left( {0;2} \right) \Leftrightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {2; + \infty } \right)} g\left( x \right)\).

- Lập BBT hàm số \(g\left( x \right)\).

Giải chi tiết

Ta có: \(y = mx + \left( {m + 1} \right)\sqrt {x - 2} \) \( \Rightarrow y' = m + \dfrac{{m + 1}}{{2\sqrt {x - 2} }} = \dfrac{{2m\sqrt {x - 2} + m + 1}}{{2\sqrt {x - 2} }}\).

Để hàm số nghịch biến trên \(D = \left( {2; + \infty } \right)\) thì \(y' \le 0\,\,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{2m\sqrt {x - 2} + m + 1}}{{2\sqrt {x - 2} }} \le 0\,\,\forall x \in \left( {0;2} \right)\\ \Leftrightarrow m\left( {2\sqrt {x - 2} + 1} \right) \le - 1\,\,\forall x \in \left( {0;2} \right)\\ \Leftrightarrow m \le \dfrac{{ - 1}}{{2\sqrt {x - 2} + 1}}\,\,\forall x \in \left( {0;2} \right)\end{array}\)

Đặt \(g\left( x \right) = \dfrac{{ - 1}}{{2\sqrt {x - 2} + 1}}\) ta có \(m \le g\left( x \right)\,\,\forall x \in \left( {0;2} \right) \Leftrightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {2; + \infty } \right)} g\left( x \right)\).

Ta có \(g'\left( x \right) = \dfrac{{\dfrac{1}{{\sqrt {x - 2} }}}}{{{{\left( {2\sqrt {x - 2} + 1} \right)}^2}}} > 0\,\,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)\) nên hàm số đồng biến trên \(\left( {2; + \infty } \right)\).

Do đó \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {2; + \infty } \right)} g\left( x \right) = g\left( 2 \right) = - 1\).

Vậy \(m \le - 1\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.