Cho các số dương \(x,y,z\) thỏa mãn điều kiện \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 1.\) Tìm giá trị nhỏ nhất

Câu hỏi số 481318:

Vận dụng cao

Cho các số dương \(x,y,z\) thỏa mãn điều kiện \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 1.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \dfrac{{xy}}{z} + \dfrac{{yz}}{x} + \dfrac{{zx}}{y}.\)

A. \(\sqrt 2 \)

B. \(1\)

C. \(2\)

D. \(\sqrt 3 \)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:481318

Phương pháp giải

Đổi biến \(\dfrac{{xy}}{z} = a,\dfrac{{yz}}{x} = b,\dfrac{{zx}}{y} = c\) đưa về bài toán cơ bản

Giải chi tiết

Đặt \(\dfrac{{xy}}{z} = a,\dfrac{{yz}}{x} = b,\dfrac{{zx}}{y} = c\,\left( {a,b,c > 0} \right) \Rightarrow ab = {y^2},bc = {z^2},ca = {x^2} \Rightarrow ab + bc + ca = 1.\)

Khi đó \(P = a + b + c.\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}{\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {c - a} \right)^2} \ge 0\\ \Rightarrow 2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge 2\left( {ab + bc + ca} \right)\\ \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge ab + bc + ca\\ \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {ab + bc + ca} \right) \ge 3\left( {ab + bc + ca} \right)\\ \Rightarrow {\left( {a + b + c} \right)^2} \ge 3\left( {ab + bc + ca} \right)\\ \Rightarrow {\left( {a + b + c} \right)^2} \ge 3\\ \Rightarrow a + b + c \ge \sqrt 3 .\end{array}\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P\) là \(\sqrt 3 ,\) dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\) \( \Leftrightarrow x = y = z = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}.\)

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link