Cho \(n\) là một số nguyên dương và \(d\) là một ước nguyên dương của \(2{n^2}.\) Chứng minh

Câu hỏi số 481319:

Vận dụng cao

Cho \(n\) là một số nguyên dương và \(d\) là một ước nguyên dương của \(2{n^2}.\) Chứng minh rằng \({n^2} + d\) không phải là số chính phương.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:481319

Phương pháp giải

\(d\) là một ước nguyên dương của \(2{n^2} \Rightarrow 2{n^2} = d.k\left( {k \in \mathbb{N}*} \right)\). Sử dụng phản chứng: Giả sử \({n^2} + d\) là số chính phương, đặt \({n^2} + d = {a^2}\left( {a \in \mathbb{N}*} \right)\), suy ra điều vô lý.

Giải chi tiết

\(d\) là một ước nguyên dương của \(2{n^2} \Rightarrow 2{n^2} = d.k\left( {k \in \mathbb{N}*} \right)\)

Giả sử \({n^2} + d\) là số chính phương, đặt \({n^2} + d = {a^2}\left( {a \in \mathbb{N}*} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {n^2} + \dfrac{{2{n^2}}}{k} = {a^2}\\ \Rightarrow {n^2}k + 2{n^2} = {a^2}k\\ \Rightarrow {n^2}{k^2} + 2{n^2}k = {a^2}{k^2}\\ \Rightarrow {n^2}\left( {{k^2} + 2k} \right) = {\left( {ak} \right)^2}\end{array}\)

Suy ra \({k^2} + 2k\) phải là số chính phương, mà \({k^2} < {k^2} + 2k < {\left( {k + 1} \right)^2},\) vô lý.

Vậy giả thiết ban đầu là sai, \({n^2} + d\) không phải là số chính phương.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link