Cho \(n\) là một số nguyên dương và \(d\) là một ước nguyên dương của \(2{n^2}.\) Chứng minh

Câu hỏi số 481319:

Vận dụng cao

Cho \(n\) là một số nguyên dương và \(d\) là một ước nguyên dương của \(2{n^2}.\) Chứng minh rằng \({n^2} + d\) không phải là số chính phương.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:481319

Phương pháp giải

\(d\) là một ước nguyên dương của \(2{n^2} \Rightarrow 2{n^2} = d.k\left( {k \in \mathbb{N}*} \right)\). Sử dụng phản chứng: Giả sử \({n^2} + d\) là số chính phương, đặt \({n^2} + d = {a^2}\left( {a \in \mathbb{N}*} \right)\), suy ra điều vô lý.

Giải chi tiết

\(d\) là một ước nguyên dương của \(2{n^2} \Rightarrow 2{n^2} = d.k\left( {k \in \mathbb{N}*} \right)\)

Giả sử \({n^2} + d\) là số chính phương, đặt \({n^2} + d = {a^2}\left( {a \in \mathbb{N}*} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {n^2} + \dfrac{{2{n^2}}}{k} = {a^2}\\ \Rightarrow {n^2}k + 2{n^2} = {a^2}k\\ \Rightarrow {n^2}{k^2} + 2{n^2}k = {a^2}{k^2}\\ \Rightarrow {n^2}\left( {{k^2} + 2k} \right) = {\left( {ak} \right)^2}\end{array}\)

Suy ra \({k^2} + 2k\) phải là số chính phương, mà \({k^2} < {k^2} + 2k < {\left( {k + 1} \right)^2},\) vô lý.

Vậy giả thiết ban đầu là sai, \({n^2} + d\) không phải là số chính phương.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link