Cho \(a,b\) là các số dương thỏa mãn điều kiện \({\left( {a + b} \right)^3} + 4ab \le 12.\) Chứng minh

Câu hỏi số 481331:

Vận dụng cao

Cho \(a,b\) là các số dương thỏa mãn điều kiện \({\left( {a + b} \right)^3} + 4ab \le 12.\) Chứng minh rằng \(\dfrac{1}{{1 + a}} + \dfrac{1}{{1 + b}} + 2020ab \le 2021\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:481331

Phương pháp giải

Từ điều kiện, sử dụng AM – GM chứng minh được \(ab \le 1\).

Sử dụng bổ đề: \(\dfrac{1}{{1 + a}} + \dfrac{1}{{1 + b}} \le \dfrac{2}{{1 + \sqrt {ab} }}\) để đơn giản biểu thức, sau đó dự đoán điểm rơi và biến đổi tương đương.

Giải chi tiết

Từ giả thiết \({\left( {a + b} \right)^3} + 4ab \le 12 \Rightarrow 12 \ge {\left( {a + b} \right)^3} + 4ab\)và \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \) nên ab > 1

Giả sử ab > 1 thì \(12 = {\left( {a + b} \right)^3} + 4ab \ge {\left( {2\sqrt {ab} } \right)^3} + 4ab > {2^3} + 4 = 12\) (vô lý)

Vậy \(ab \le 1.\) Dấu bằng xảy ra khi \(a = b = 1.\)

Ta chứng minh bất đẳng thức sau: \(\dfrac{1}{{1 + a}} + \dfrac{1}{{1 + b}} \le \dfrac{2}{{1 + \sqrt {ab} }}\)

Thật vậy:

\(\dfrac{1}{{1 + a}} + \dfrac{1}{{1 + b}} \le \dfrac{2}{{1 + \sqrt {ab} }} \Leftrightarrow \dfrac{{{{\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)}^2}\left( {\sqrt {ab} - 1} \right)}}{{\left( {1 + a} \right)\left( {1 + b} \right)\left( {1 + \sqrt {ab} } \right)}} \le 0\) (luôn đúng vì \(a,b > 0,ab \le 1)\)

\( \Rightarrow \dfrac{1}{{1 + a}} + \dfrac{1}{{1 + b}} + 2020ab \le \dfrac{2}{{1 + \sqrt {ab} }} + 2020ab\)

Đặt \(\sqrt {ab} = t\left( {0 < t \le 1} \right)\). Ta cần chứng minh:\(\dfrac{2}{{1 + t}} + 2020{t^2} \le 2021\)

\( \Leftrightarrow \left( {t - 1} \right)\left( {2020{t^2} + 4040t + 2019} \right) \le 0\)(luôn đúng do \(0 < t \le 1\))

Dấu xảy ra khi \(t = 1\,\, \Leftrightarrow \,a = b = 1.\)

Hoàn tất chứng minh.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link