Cho tam giác \(MNP\) vuông cân tại \(M\), \(MN = a.\) Lấy điểm \(D\) thuộc cạnh \(MN,\) điểm \(E\)
Cho tam giác \(MNP\) vuông cân tại \(M\), \(MN = a.\) Lấy điểm \(D\) thuộc cạnh \(MN,\) điểm \(E\) thuộc cạnh \(NP\) sao cho chu vi tam giác \(NDE\)bằng \(2a.\) Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác \(NDE\).
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
Đặt \(DN = x,NE = y\). \({S_{NDE}} = \dfrac{1}{2}ND.EF = \dfrac{1}{2}x.\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}y = \dfrac{{\sqrt 2 }}{4}xy\).
Từ chu vi tam giác \(NDE\)bằng \(2a\), tìm mối liên hệ giữa \(x\) và \(y\). Sử dụng bất đẳng thức AM – GM để tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác \(NDE\).
Đặt \(DN = x,NE = y\)
Kẻ \(EF \bot MN\) ta có:
\(\begin{array}{l}EF = NE.\sin N = y.\sin {45^0} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}y\\NF = NE.\cos N = y.\cos {45^0} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}y\\DF = \left| {\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}y - x} \right| \Rightarrow DE = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}y} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}y - x} \right)}^2}} = \sqrt {{x^2} - \sqrt 2 xy + {y^2}} \end{array}\)
Do chu vi tam giác là \(2a\)nên \(x + y + \sqrt {{x^2} - \sqrt 2 xy + {y^2}} = 2a\)
\({S_{NDE}} = \dfrac{1}{2}ND.EF = \dfrac{1}{2}x.\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}y = \dfrac{{\sqrt 2 }}{4}xy\)
Ta có: \(x + y \ge 2\sqrt {xy} ;{x^2} + {y^2} \ge 2xy\)
\( \Rightarrow 2a = x + y + \sqrt {{x^2} - \sqrt 2 xy + {y^2}} \ge 2\sqrt {xy} + \sqrt {2xy - \sqrt 2 xy} = \sqrt {xy} \left( {2 + \sqrt {2 - \sqrt 2 } } \right)\)
\( \Rightarrow xy \le {\left( {\dfrac{{2a}}{{2 + \sqrt {2 - \sqrt 2 } }}} \right)^2} \Rightarrow {S_{NDE}} \le \dfrac{{\sqrt 2 }}{4}{\left( {\dfrac{{2a}}{{2 + \sqrt {2 - \sqrt 2 } }}} \right)^2}\)
Dấu xảy ra khi và chỉ khi \(x = y = \dfrac{{2a}}{{2 + \sqrt {2 - \sqrt 2 } }}\)
Vậy GTLN của \({S_{ADE}}\) là \(\dfrac{{\sqrt 2 }}{4}{\left( {\dfrac{{2a}}{{2 + \sqrt {2 - \sqrt 2 } }}} \right)^2}\), xảy ra khi \(ND = NE = \dfrac{{2a}}{{2 + \sqrt {2 - \sqrt 2 } }}\)
Đáp án cần chọn là: A
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
