Tìm tất cả các số nguyên \(x,\,\,y\) thỏa mãn phương trình \({x^2} + xy + {y^2} = {x^2}{y^2}.\)

Câu hỏi số 481335:

Vận dụng cao

A. \(\left( {0;0} \right),\left( {1;1} \right),\left( { - 1;1} \right)\)

B. \(\left( {0;0} \right),\left( { - 1;2} \right),\left( {1;2} \right)\)

C. \(\left( {0;0} \right),\left( {1; - 2} \right),\left( { - 1;2} \right)\)

D. \(\left( {0;0} \right),\left( {1; - 1} \right),\left( { - 1;1} \right)\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:481335

Phương pháp giải

Tích của hai số nguyên liên tiếp là số chính phương khi một trong hai số bằng \(0\)

Giải chi tiết

Chứng minh tính chất: Tích của hai số nguyên liên tiếp là số chính phương khi một trong hai số bằng \(0\)

Giả sử có hai số tự nhiên liên tiếp (đều khác 0) là m và m + 1 có tích là số chính phương (Lưu ý rằng tích của hai số nguyên âm bằng tích của các số đối của chúng).

Khi đó \({m^2} < m\left( {m + 1} \right) = {n^2} < {\left( {m + 1} \right)^2} \Rightarrow m < n < m + 1\)(vô lý vì m và n đều là các số nguyên dương)

Vậy tích của hai số nguyên liên tiếp là số chính phương khi một trong hai số bằng \(0\)

Trở lại bài toán

\(\begin{array}{l}{x^2} + xy + {y^2} = {x^2}{y^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} + 2xy + {y^2} = {x^2}{y^2} + xy\\ \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} = xy\left( {xy + 1} \right)\end{array}\)

Vì \({\left( {x + y} \right)^2}\) là số chính phương mà \(xy\left( {xy + 1} \right)\) là tích của hai số nguyên liên tiếp nên \(xy\left( {xy + 1} \right) = 0\)

TH1: \(x = 0 \Rightarrow y = 0.\)

TH2: \(y = 0 \Rightarrow x = 0.\)

TH3: \(xy + 1 = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1,y = - 1\\x = - 1,y = 1\end{array} \right.\).

Vậy các cặp số nguyên \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn phương trình là \(\left( {0;0} \right),\left( {1; - 1} \right),\left( { - 1;1} \right)\).

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link